Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos vektorlari bazis tashkil qilishining yetarli sharti

Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos vektorlari bazis tashkil qilishining yetarli sharti

13- amaliy mashgulot

Chiziqli operatorning xos son va xos vektorlari. Xos vektorlari bazis tashkil qiluvchi chiziqli operatorlar. Chiziqli operatorning xos vektorlari bazis tashkil qilishining yetarli sharti.
*** * * * * * * *
- ta’rif. Agar chiziqli operator va son uchun
tenglik oʻrinli boʻlsa, u holda son operatorning xos soni, unga mos vektorga esa operatorning xos vektori deb ataladi.
Yuqoridagi tenglikni operatorning matritsasidan foydalanib yozsak, u holda quyidagi tenglamalar sistemasini hosil qilamiz:

Bundan .

Bizga maʻlumki bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi har doim trivial yechimga ega. Chiziqli tenglamalar sistemasi trivial boʻlmagan yechimga ega boʻlishi uchun esa uning koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinantning qiymati nolga teng boʻlishi zarur va etarli, yaʻni
(13.1)
determinant ga nisbatan darajali koʻphaddir. Bu koʻphad operatorning xarakteristik koʻphadi deb ataladi. (13.1) tenglama operatorning xarakteristik tenglamasi deyiladi. Chiziqli operatorning xarakteristik koʻphadi bazisni tanlashga bogʻliq emas.
* * * * * * * * * *
1-masala.
Quyidagi matritsaning xos son va xos vektorini toping

Matritsaning bitta xos qiymati va xos vektori aniqlandi.Uni noma’lum xos vektor

bilan belgilaymiz. Keyin matritsa tenglamasi quyidagicha yoziladi:

Qoidaga ko’ra chap qismida matritsani ko’paytiramiz, o’ng qismiga « lambda »ni ko’paytiramiz:

Ikki matritsaning elementlari bir-biriga mos kelsa, ular o’zaro teng hisoblanadi. Ustun vektorlarining tegishli elementlari tenglashtirilsa, chiziqli tenglamalar sistemasi kelib chiqadi:

Hammasini chap tomonga o’tkazamiz:

Birinchi tenglamada «x» ni qavslardan chiqaramiz, ikkinchi tenglamada esa «y» ni :

Ta’rif bo’yicha, xos vektor nolga teng bo’lmaydi, shuning uchun sistema yechimiga mos kelmaydi. Demak, chiziqli tenglamalar bir-biriga bog’liq va sistemaning matritsani aniqlochisi (determinanti) nolga teng:

Bu matritsaning xarakteristik tenglamasi deyiladi,uning ildizlari berilgan matritsaning xos soni hisoblanadi.
Amalda,qoida tariqasida, formulaning xulosasini to’liq ochib berish shart emas, misolning yechimini quyidagicha aniqlash mumkin: