SƏRBƏst iŞ TƏLƏBƏ: Yəhyayeva Səbinə faküLTƏ: Biznes və iqtisadiyyat məktəbi kafedra: İqtisadiyyat

II. Çebişov teoremləri.

Sonlu dispersiyası olan X təsadüfi kəmiyyəti və   0 ədədi üçün

bərabərsizliyi ödənilir.

Çebışev bərabərsizliyini onunla ekvivalent olan bərabərsizliklə əvəz etmək olar:

İsbatı. X  m   və X  m   bərabərsizlikləri ilə xarakterizə olunan hadisələr qarşılıqlı əks hadisələr olduğundan onların ehtimalları cəmi vahidə bərabərdir:

bərabərsizliyini |X  m| kəmiyyətinə tətbiq edək:

Onda bərabərliyinə əsasən

Paylanma qanunu məlum olmayan təsadüfi kəmiyyətlərlə bağlı hadisələrin ehtimallarını qiymətləndirilmək üçün Çebışev bərabərsizliyindən istifadə etmək olar.

Əgər təsadüfi X kəmiyyəti riyazi gözləməsi M(X)  a  np və dispersiyası D(X)  npq olan binomial paylanmaya malikdirsə, onda Çebışev bərabərsizliyi

şəkildə olar.

Asılı olmayan n sınaq nəticəsində hər birinin ehtimalı p olan A hadisəsinin nisbi m/n tezliyi üçün Çebışev bərabərsizliyi

şəklində olar.

“Böyük ədədlər qanunu” ümumi şəkildə aşağıdakı kimi ifadə olunur: Əgər X₁,X₂....X_n cüt-cüt asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlər olub müntəzəm məhdud dispersiyalara malikdirlərsə, yəni elə c  0 ədədi var ki, D(X_i )C(i1,2,3,...), onda istənilən kifayət qədər kiçik   0 ədədi üçün

bərabərsizliyi və ya

limit bərabərliyi doğrudur.

Başqa sözlə, sayı kifayət qədər çox olan təsadüfi kəmiyyətlərin ədədi ortasının onların riyazi gözləmələrinin ədədi ortasından olan meylinin kifayət qədər kiçik olması ehtimalı vahidə yaxındır.

X₁,X₂....X_n təsadüfi kəmiyyətlərin ədədi ortası da təsadüfi kəmiyyətdir və bu kəmiyyətin riyazi gözləməsi

olur. X təsadüfi kəmiyyəti üçün Çebışev bərabərsizliyini yazaq:

Dispersiyanın xassəsinə və teoremin şərtinə əsasən alarıq:

Onda

bərabərsizliyində n   şərtində limitə keçsək və ehtimalın vahiddən böyük olmadığını nəzərə alsaq,

olar. Bununla da Çebışev teoremi isbat oldu.

Əgər X₁,X₂....X_n eyni a riyazi gözləməsinə malik cüt-cüt asılı olmayan təsadüfi kəmiyyətlərdirsə və onların dispersiyaları məhduddursa, onda

Hadisənin baş vermə tezliyinin onun ehtimalına yığılması haqqında ilk böyük ədədlər qanunu 1713-cü ildə Y.Bernulli tərəfindən isbat edilmişdir.

NƏTİCƏ

Böyük ədədlər qanunu  təcrübədə mühüm  əhəmiyyətə malikdir. Bu qanun statistik tədqiqatların – uçot və hesabat məlumatlarının toplanmasının, kütləvi hadisələrin qanunauyğunluqlarının aşkar edilməsinin əsasını təşkil edir. Böyük ədədlər qanununa görə müşahidələrin sayının qeyri-məhdud   artması ilə müxtəlif təsadüfi meyllər qarşılıqlı silinir və nəticədə müşahidələrin nəticələrinin hesabi ortası,  tədqiq edilən əlamətin statistik yığımdakı orta kəmiyyətindən vahidə kifayət qədər yaxın ehtimalla cüzi surətdə fərqlənir.

Kəmiyyətlərin əsil qiymətini təyin edərkən bu və ya başqa dərəcədə xətaya yol verilir. Məsələn, tərəzi çəkinin, termometr temperaturun, ampermetr cərəyan şiddətinin əsil qiymətini dəqiq deyil, təqribi qiymətini göstərir. Hər hansı a kəmiyyətini təyin edərkən, onun  təcrübi qiymətləri vasitəsi ilə təyin edilən

kəmiyyətindən geniş istifadə olunur. Məhz bu kəmiyyət n-nin kifayət qədər böyük qiymətlərində a-nın əsil qiymətini aşağıda dəqiqləşdiriləcək mənada çox yaxın olur.

Ölçmə prosesində təsadüfü amillər olduğuna görə, onun  nəticələrinə təbii olaraq təsadüfü kəmiyyət kimi baxılmalıdır. Ölçmə nəzəriyyəsində aşağıdakı fərziyyə əsas götürülür: aparılan ölçmələrin sayı kifayət qədər böyük olduqda alınan nəticələrin ədədi ortası müəyyən bir a sabitinə olduqca yaxın olur. Belə xassəyə malik olan a sabitini ölçülən kəmiyyətin əsil qiyməti kimi götürmək təbiidir.

Yuxarıda şərh edilən təcrübi fərziyyə, riyazi cəhətdən ehtimal nəzəriyyəsinin böyük bir bölməsini təşkil edən böyük ədədlər qanunu vasitəsi ilə əsaslandırılır. Ehtimal nəzəriyyəsində böyük ədədlər qanunu dedikdə, təsadüfü kəmiyyətlər ardıcıllığının bu və ya digər mənada müəyyən sabitə yığılması haqqında teoremlər nəzərdə tutulur.


ƏDƏBİYYAT SİYAHISI

1. 
   H. M. Əhmədova. «Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistika müntəxəbatı». Rus dilindən tərcümə. Bakı, “Şərq–Qərb”, 2009, 496 səhifə.
   
2. 
   T.Q.Kərimov, N.Z.Seyfullazadə- Ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın əsasları, Bakı, 2008.