Qurbonov Shamsiddin

Kurs ishining maqsadi: “Elliptik integrallarni klassifikatsiyalash” haqida ma’lumot yig’ish va olgan bilimlarni mustahkamlash.
Kurs ishining obyekti: Elliptik integrallarni klassifikatsiyalash mavzusi
Kurs ishining predmeti: Elliptik integrallarni klassifikatsiyalashni o‘rganish usullari.
Kurs ishining vazifalari:
1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
2 . Elliptik integrallar haqida umumiy ma’lumotni o‘rganish;
3. Ratsional va irratsional funksiyalarni integrallashni o‘rganish;
4. Elliptik integrallar va ularning turlarini o‘rganish;

Kurs ishining tuzilishi. Ushbu kurs ishi kirish, uchta paragraf, xulosa hamda foydalanilgan adabiyotlardan iborat

1. Boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral xossalari

TA’RIF. Biror chekli yoki cheksiz (a,b) oraliqdagi har bir x nuqtada differensiallanuvchi va hosilasi

F′(х)=f(х) (1)
shartni qanoatlantiruvchi F(x) berilgan f(x) funksiya uchun boshlang‘ich funksiya deyiladi.
Masalan, f(x) (a>0, a≠1), x(–∞, ∞), funksiya uchun F(x)= /lna boshlang‘ich funksi ya bo‘ladi, chunki ixtiyoriy x uchun
F′(x)= ( /lna)′= lna /lna= =f(х)
tеnglik o‘rinlidir.
Berilgan y=F(x) funksiyaning y′=F′(x)=f(x) hosilasi bir qiymatli aniqlanadi. Masalan, y= funksiya yagona y′=2x hosilaga ega. Ammo y=f(x) funksiyaning boshlang‘ich F(x) funksiyasini topish masalasi bir qiymatli hal qilinmaydi. Haqiqatan ham, agar F(x) funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘lsa, u holda ixtiyoriy C o‘zgarmas son uchun F(x)+C funksiya ham f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi. Haqiqatan ham, differensiallash qoidalariga asosan,
(F(x)+С)′= F′(x)+(С)′=f (х)+0= f (х)
va, ta’rifga asosan, F(x)+C funksiya f(x) uchun boshlang‘ich funksiya bo‘ladi.
Masalan, f(x)=2x uchun ixtiyoriy C o‘zgarmasda +C boshlang‘ich funksiyalar bo‘ladi.
Demak, berilgan y=f(x) funksiya uchun F(x)+C ko‘rinishdagi cheksiz ko‘p boshlang‘ich funksiya mavjud bo‘ladi. Bunda F(x) birorta boshlang‘ich funksiyani, C esa ixtiyoriy o‘zgarmas sonni ifodalaydi.
Bu yerda berilgan y=f(x) funksiya uchun barcha boshlang‘ich funksiyalarni topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu savolga javob berish uchun dastlab ushbu lemmani (yordamchi teoremani) qaraymiz.
LEMMA: Agar y=Q(х) funksiya biror (a,b) oraliqda differensiallanuvchi va bu oraliqning har bir nuqtasida uning hosilasi Q′(x)=0 bo‘lsa, unda bu funksiya (a,b) oraliqda o‘zgarmas, ya’ni Q(x)=C (C - const) bo‘ladi. Isbot: Qaralayotgan (a,b) oraliqdan ixtiyoriy ikkita x1 va x2 (x1≠x2) nuqtalarni olamiz. Unda y=Q(х) funksiya olingan [x1, x2] kesmada Lagranj teoremasining (VII bob,§3) barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli Q(x2)–Q(x1)=Q′()(x2–х1 ) , x1<< x2 , tenglik o‘rinli bo‘ladi. Lemma sharti bo‘yicha (a,b) oraliqning barcha nuqtalarida Q′(x)=0 bo‘lgani uchun  nuqtada ham Q′()=0 bo‘ladi. Bu yerdan, oldingi tenglikka asosan, Q(x2)–Q(x1)=0, ya’ni Q(x2)=Q(x1) tenglikka ega bolamiz. Bu esa Q(x)=C ekanligini ifodalaydi. Lemma isbot bo‘ldi.
TA’RIF. Agar F(x) biror (a,b) oraliqda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, unda F(x)+С (С – ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar to‘plami shu oraliqda f(x) funksiyaning aniqmas integrali deyiladi . Berilgan f(x) funksiyaning aniqmas integrali  f (x)dx kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, birorta F(x) boshlang‘ich funksiya bo‘yicha
f(x)dx  F(x)  C (2)
tenglik bilan aniqlanadi. Bunda C ixtiyoriy o‘zgarmas son ekanligini yana bir marta eslatib o‘tamiz. (2) tenglikda  - integral belgisi, f(x) integral ostidagi funksiya , f(x)dx integral ostidagi ifoda, x esa integrallash o‘zgaruvchisi deyiladi. Berilgan f(x) funksiyaning  f (x)dx aniqmas integralini topish amali bu funksiyani integrallash deb ataladi.
I
zoh: Berilgan f(x) uchun qaysi shartda F(x) boshlang‘ich funksiya , demak  f (x)dx aniqmas integral, mavjud bo‘lish masalasi kelgusida, §6 da qaraladi. Yuqorida topilgan boshlang‘ich funksiyalar bo‘yicha quyidagi aniqmas integrallarni yozish mumkin:

Aniqmas integral ta’rifini ifodalovchi (2) tenglikdan ko‘rinadiki, aniqmas integral y=F(x)+C(C-ixtiyoriy o‘zgarmas son) funksiyalar sinfini ifodalaydi. Shu sababli, geometrik nuqtai-nazardan, aniqmas integral y=F(x) funksiya grafigini OY koordinata o‘qi bo‘ylab parallel ko‘chirishdan hosil bo‘ladigan chiziqlar sinfidan iborat bo‘ladi.

Bu jadval, integralning ko‘rib o‘tilgan xossalari va kelgusida qaraladigan integrallash usullaridan foydalanib juda ko‘p integrallarni hisoblash mumkin.

TA’RIF.. bo’lganda
(1.1)
Ifoda butunlik sohasi ustida berilgan ko’phad deyiladi. - bu yerda manfiy emas butun sonlar bo’lib deb olinadi (1) ifodada uchraydigan , simvollar deb qaraladi. simvol odatda noma’lum ifoda deb yuritiladi . (1.1) ifodadagi lar (1.1) ko’phadning koeffitsiyentlari,  lar esa ko’phadning hadlari deyiladi.
Agar bo’lsa, bosh koeffitsiyent, esa bosh had deyiladi.
Bir noma’lumli ko’phadlar odatda orqali belgilanadi. Ko’phadlarning o’zaro tengligi, ular ustida bajariladigan amallarni qarashdan oldin quyidagilarni ta’kidlab o’tamiz.

1. 
   Agar bo’lib bo’lsa, (1.1) ifodadan 
   

Ifoda,

2. 
   va bo’lsa, (1.1) dan ifoda;
   
3. 
   k_i =0 va da (1.1 )dan hosil bo’lgani tufayli  , va istalgan o’zgarmas sonlar ham ko’phadlar deb qaraladi.
   

Faraz qilaylik, va lar butunlik sohasi ustida berilgan ko’phadlar bo’lsin.
TA’RIF. Noma’lumning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari teng bo’lgan ko’phadlar o’zaro teng ko’phadlar deyiladi.
Masalan,
va
ko’phadlar o’zaro teng
va
 ko’phadlar o’zaro teng emas.
Bu ta’rifdan foydalanib biz har qanday ko’phadni doimo quyidagicha yozish mumkinligiga ishonch hosil qilamiz.
 (1.2)
Darajaning ta’rifiga asosan agar bo’lsa ko’phad - darajali deb yuritiladi esa ozod had deyiladi.
TA’RIF. Barcha koeffitsiyentlari nolga teng bo’lgan ko’phad nol ko’phad deyiladi.
Birhadlar yig‘indisi ko‘phad deyiladi. Masalan, , ifodalarning har biri ko‘phaddir. Ko‘phad tarkibidagi eng katta darajali birhadning darajasi shu ko‘phadning darajasi deyiladi.
Masalan, ko'phadning qo'shiluvchilari lug'aviy tartibda joylashtirilgan.Agar ko'phadning barcha hadlarida o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi ga teng bo'lsa, uni - darajali bir
jinsli ko 'phad deyiladi. Masalan, — birinchi darajali bir jinsli (bunda =l), — uchinchi darajali ( = 3) bir jinsli ko'phad.Agar birhad darajali bo'lsa, ixtiyoriy umumiy ko'paytuvchi uchun ga ega bo'lamiz. Agar ixtiyoriy soni uchun tenglik bajarilsa, ko'phad (funksiya) - darajali bir jinsli ko'phad (funksiya) bo'ladi. Masalan,

Funksiya 3-darajali bir jinsli funksiyadir, chunki .Shu kabi,
-uchinchi darajali , nolinchi darajali , birinchi darajali , bir jinsli funksiyalardir.
Kamida ikkita noma’lumga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p noma’lumli ko’phad deyiladi.
Ko’p noma’lumli ko’phadlar 2, 3, 4, …, noma’lumli bo’lishi mumkin. algebraik yig’indisidan iborat bo’lib, bu yerda lar sonlar maydoniga tegishli bo’lgan butun sonlardir. n noma’lumli ko’phadning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:
(1.3)
n noma’lumli ko’phad , , , … kabi belgilanadi.
lar (1.3) ko’phad hadlarining koeffitsiyentlari deyiladi. Bu yerda larni kabi yozish ham mumkin.
(1.3) ko’phadni

ko’rinishda ham yoziladi.
Agar bo’lsa, u holda (1.3) yig’indidagi har bir qo’shiluvchi ko’phadning hadi,

yig’indi esa bu hadning darajasi deb ataladi.
noma’lumli ko’phadning darajasi deb shu ko’phaddagi qo’shiluvchi hadlar darajalarining eng kattasiga aytiladi.
Masalan, ratsional sonlar maydoni ustidagi

ko’phadda birinchi hadning darajasi , ikkinchi hadning darajasi , uchinchi hadning darajasi , to’rtinchi hadning darajasi bo’ladi. Ko’phadning darajasi esa ga teng.
(1.3) ko’phadning ba’zi yoki hamma koeffitsiyentlari, shuningdek, ba’zi yoki barcha daraja ko’rsatkichlari nolga teng bo’lishi mumkin. Masalan, , bo’lib, koeffitsiyent maydonning istalgan elementini bildirsa, (1.3) ko’phad

ko’rinishni oladi. Demak, P maydonning hamma elemantlari ham n o’zgaruvchili ko’phad deb hisoblanadi. Xususiy holda bo’lsa, u holda nol ko’phad xosil bo’ladi. Biz uni ko’rinishda belgilaymiz. bo’lsa, u holda ni nolinchi darajali ko’phad deyiladi. Nol ko’phadning darajasi aniqlanmagan.
Masalan, , .
(1.3) ko’phaddagi noma’lumlar bir-biriga bog’liq emas, ularni istalgan son qiymatni qiymatni qabul qila oladi deb hisoblaymiz. Boshqacha aytganda, har bir noma’lumning qiymatlari qolgan noma’lumlarning qiymatlari bilan bog’liq emas, noma’lum qolgan noma’lumlarning funksiyasi emas. Bunday o’zagruvchilar, odatda, erkin o’zgaruvchilar deb ataladi.
Aytilganlardan quyidagi natija chiqadi: hamma koeffitsiyentlardan aqalli bittasi nolga teng bo’lmasa, (1.3) ko’phad ham nol ko’phad bo’la olmaydi. Haqiqatan,

tenglikdagi qolgan noma’lumlarning oshkormas funksiyasi ekanini ko’ramiz.
Demak, shartdagina (1.3) ko’phad aynan nolga teng.
TA’RIF. va ko’phadlardan har birining istalgan

hadi uchun ikkinchisining ham xuddi shunday (aynan teng) hadi mavjud bo’lsagina, bu ikki ko’phad bir-biriga teng deyiladi.

2. Simmetrik ko'phad va asosiy simmetrik ko'phadlar