Qosimov f. M. Qosimova m. M

Aniqmas integral

Berilgan funksiya bo’yicha uning hosilasini topishga doir masalalar bilan bir qatorda berilgan hosilasi bo’yicha differensiallanadigan funksiyaning o’zini topishga doir masalalar ham qaraladi. Bu funksiya berilgan funksiyaning boshlang’ich funksiyasi deyiladi. Shunday qilib, y=F(x) funksiya bo’lganda va faqat shunda f(x) funksiyaning boshlang’ich funksiya bo’ladi. Masalan, y=x funksiya y=3x ning boshlang’ich funksiyasidir, chunki (x )`=3x . Bu funksiyadan tashqari har qanday y=x +C (C–o’zgarmas) ko’rinishdagi funksiya y=3x funsiyaning boshlang’ichidir, chunki (x +C)`= .

Ko’rib turibmizki, har bir funksiya bittagina hosilaga ega bo’lsa ham uning cheksiz ko’p boshlang’ich funksiyalari bo’lar ekan. Bu boshlang’ich funksiyalar bir- biridan faqat o’zgarmas qo’shiluvchi bilan farq qiladi. Boshqacha aytganda, agar y=F(x) funksiyaning boshlang’ich funksiyalaridan bittasi bo’lsa, uning qolgan hamma boshlang’ich funksiyalari y=F(x)+C ko’rinishda bo’lar ekan. y=f(x) funksiyaning hamma boshlang’ich funksiyalarining majmuasi bu funksiyaning aniqmas integrali deyiladi va quyidagicha belgilanadi: . Shunday qilib;
= .
1. Ikki funksiya yig’indisining aniqmas integrali bu funksilar integrallarining yig’indisiga teng:

2. O’zgarmas ko’paytuvchini integral ishorasi tashqarisiga chiqarish mumkin:
=
Quyidagi formula o’rinli:

Misol: dx ni toping.

Aniq integral

Aniqmas integral ifodasiga ixtiyoriy C o’zgarmas kirgani uchun x ning berilgan qiymatida bu integralning qiymatini topib bo’lmaydi. Ammo berilgan b va a nuqtalarda integral qiymatlarining ayirmasini topish mumkin:

- =F(b)-F(a)
Bu tenglik y=f(x) funksiyaning barcha boshlang’ichlari uchun b va a nuqtalarda ular qiymatlarining ayirmasi bir xil va u C ning tanlanishiga bog’liq emasligini ko’rsatadi. Shuning uchun y=F(x) funksiya b va a nuqtalardagi boshlang’ich qiymatlarining ayirmasi y=f(x) funksiyaning [a; b] kesmadagi aniq integrali deyiladi. [a; b] kesmadagi aniq integral kabi belgilanadi. Shunday qilib,

bunda, F(x) funksiya f(x)ning boshlang’ich funksiyasidir. F(b)– F(a) ayirma kabi belgiladi. Shuning uchun

Aniq integralning ba’zi xossalarini aytib o’tamiz. Aniqmas integralning 1va 2-xossalaridan quyidagi kelib chiqadi:

va
=
Agar a bo’ladi.