Namangan davlat universiteti matematik analiz kafedrasi

1.3-§. Beta- va gamma-funksiyalar orasidagi bog‘lanish.
Beta- va gamma-funksiyalarning o‘zaro bog‘lanishlarini o‘rnatish maqsadida (1.1.7) da almashtirish bajaramiz, u holda
(1.3.1)
Bu yerda ni bilan va ni bilan almashtirib, quyidagini hosil qilamiz:

Oxirgi tenglikning har ikki tomonini ga ko‘paytiramiz va dan gacha integrallaymiz:

Bundan (1.1.5), (1.2.6) va (1.2.1) ga asosan

Demak,
(1.3.2)
Agar (1.3.2) formulada desak, u holda (1.1.6) va (1.2.3) ga asosan, da
(1.3.3)
formulaga ega bo‘lamiz. Bundan bO‘lganda kelib chiqadi. Bu tenglik (1.3.2) ga asosan (1.1.6) dan ham darhol kelib chiqadi.
Odatda (1.3.3) to‘ldirish formulasi deb ataladi.
(1.1.4) tenglikda ishtirok etayotgan beta-funksiyalarga (1.3.2) formulani qo‘llab, ekanligini e’tiborga olsak, ikkilangan argumyentning gamma - funksiyasi uchun o‘rinli bo‘lgan ushbu

Lejandr formulasi kelib chiqadi.
Eslatib O‘tish lozimki, garchi (1.3.3) tenglik farazda keltirib chiqarilgan bo‘lsada, u uchun ham to‘g‘ridir.
Gamma - funksiya uchun ushbu integral formula

va to‘ldirish formulasining quyidagi analoglari ham o‘rinlidir:



1.4-§. Kasr tartibli integral va integro-differensial operatorlar.
Riman-Liuvill kasr tartibli integral va hosilalari kasr tartibli ifodalarning eng ko‘p ishlatiladiganlaridandir. Chekli (a,b) intervalda aniqlangan funksiya uchun Riman-Liuvill chap tomonlama kasr tartibli integrali ushbu formula bilan beriladi [9].
(1.4.1)
o‘ng tomonlama Riman-Liuvill kasr tartibli integrali esa quyidagicha beriladi
(1.4.2)
(1.4.1) va (1.4.2) kasr integrallar deyarli hamma joyda mavjud bo‘lgan funksiyalar uchun aniqlanadi.
Agar funksiya Gyolder ma’nosida uzluksiz bo‘lsa u holda chap tomonlama kasr tartibli integrali quyidagi ko‘rinishga ega bo‘ladi.

bunda butun bo‘lmagan holida va [ ], { } lar mos ravishda musbat sonning butun va kasr qismlaridir. butun bo‘lgan holda esa alohida o‘rganilgan.
Gyolder ma’nosidagi uzluksiz funksiyalarning o‘ng tomonlama kasr tartibli integrallari uchun ham o‘xshash formulalar keltiriladi.
Agar va bo‘lganda operator da bilan chegaralangan bo‘ladi. Kattaroq p uchun bu hol yaxshiroq ya’ni aniqrog‘i agar va bo‘lsa u holda bo‘lsa u holda operator da bilan chegaralangan, va orasidagi boshqa munosabatlar adabiyotlarda batafsil o‘rganilgan.
Kasr tartibli integrallarning eng muhim xossalaridan biri yarim gruppa munosabatidir.

o‘rinli shu bilan birga quyidagi munosabat hosil bo‘ladi,

qaysiki va integrallanuvchi funksiyalar uchun.
Boshqa bir muhim munosabat bo‘laklab integrallash formulasidir

qaysiki

Elementar va maxsus funksiyalar kasr tartibli integrallarni hisoblash quyida ko‘rsatiladi:



bu yerda

funksiya Gaussning gipergeometrik funksiyasidir hamda ushbu Pohhammer belgisi .

bu yerda

Eyler funksiyasi,

da esa bunda

Mittag – Leffler funksiyasidir.
Riman – Liuvill kasr tartibli hosilasi unga moskasr tartibli integrallar uchun chap teskari operator sifatida beriladi. Aniqroq aytadigan bo‘lsak ushbu funksiya
va shartlarni qanoatlantiruvchi funksiya deb qabul qilamiz. AC bilan absolyut uzluksiz funksiyalar oilasini belgilaymiz. Bu shartni qabul qilishda Riman – Liuvillning chap va o‘ng tomonlama hosilalari quyidagi munosabatlar bilan aniqlanadi:

Ma’lumki ekanligidan holat o‘rinli bo‘ladi. Bu holda Riman-Liuvill kasr tartibli hosila [a;b] kesmaning deyarli hamma yerida mavjud bo‘ladi va quyidagi tenglik bajariladi

Avval aytib o‘tilganidek Riman-Liuvill kasr tartibli hosilasi unga mos Riman-Liuvill integraliga chap teskari operatordir, qaysiki quyidagi

munosabat har bir funksiya uchun bajariladi. Teskarisi o‘rinli emas ya’ni Riman-Liuvill kasr tartibli hosilasi Riman-Liuvill integraliga o‘ng teskari operator emas.
Boshqacha aytganda shartni bajaruvchi barcha lar uchun quyidagi munosabatga ega bo‘lamiz.

Ifodadagi yig‘indi yaqinlashadi agar funksiya kasr tartibli integral ko‘rinishida
tasvirlanuvchi bo‘lsa ya’ni bo‘ladigan funksiya mavjud bo‘lsa.
Agar va analitik funksiya bo‘lsa u holda

yarimgruppa munosabati o‘rinli bo‘ladi (umuman olganda bu munosabat o‘rinli emas).
Riman – Liuvill kasr tartibli hosila uchun Leybnits qoidasi turli shakllarda ifodalaniladi:

Butun son o‘qida aniqlangan funksiyalar uchun kasr tartibli integral va hosilalarning analoglari quyidagi formulalar orqali beriladi:

Shuni eslatib o‘tish lozimki kasr tartibli hisobda kasr tartibli integralning Riman Liuvill konstruksiyasi ko‘plab yondoshuvlarda keng tarqalgan. Kasr tartibli hosilalar uchun bu o‘rinli emas. Eng chiroyli va keng tarqalgan yondoshuvlardan biri Kaputo kasr tartibli hosilasi deb nomlanadi (shuningdek Kaputo-Jerbashian yoki Kaputo-Gerasimov kasr tartibli hosilasi). U Riman Liuvill kasr tartibli hosilasining tartiblangan ko‘rinishidir ya’ni va bo‘lganda, u holda Kaputo kasr tartibli hosilalari quyidagi formulalar orqali aniqlanadi.

Agar bo‘lsa u holda integrallash va differensiallash tartibining o‘zgarishi Kaputo kasr tartibli hosilasining boshqa bir ko‘rinishini beradi.

Eslatib o‘tamizki, tenglikda Riman-Liuvill va Kaputo hosilalari orasidagi munosabat aniqlangan formulada formulada barcha komponentalari beriladi.
Riman Liuvill hosilasiga o‘xshash barcha lar uchun quyidagilar o‘rinli:

lekin butun darajali monomialda Kaputo hosilasi yo‘qolib ketadi (Riman-Liuvill hosilasi uchun bu hol noto‘g‘ri) ya’ni barcha lar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli

Boshqacha aytganda

Bizda shuningdek Kaputo kasr tartibli hosilalarining qiytmatlari uchun boshqa formulalar ham bor:

Kaputo kasr tartibli hosilasi kasr tartibli integralga chap teskaridir

biroq o‘ng teskarisi emas, qaysiki quyidagi munosabatlarni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun

Kaputo kasr tartibli hosilalarining Laplas almashtirishi butun tartibli hosilalar uchun Laplas almashtirishiga o‘xshashdir.