Mavzu: Laplas tenglamasining fundamental yechimiga doir

Teorema. Biror sohada garmonik bo’lgan funksiya shu sohada barcha tartibli hosilalarga ega bo’ladi.
Isbot. funksiya sohada garmonik bo’lsin, da to’la yotuvchi, ya’ni o’zining chegarasi bilan birga sohani olamiz. ni shunday tanlab olamizki,uning chegarasi bo’laklari silliq sirtdan iborat bo’lsin. Ravshanki, va sohaga (12) formulani qo’llaymiz:
(14)

nuqta atrofida (14) integral ostidagi funksiya va o’zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz va nuqtaning barcha koordinatalari bo’yicha barcha tartibli hosilalarga ega. Parametrga bogliq bo’lgan integrallarni differensiallash haqidagi teoremaga asosan, funksiya nuqtada lar bo’yicha barcha tartibli hosilalarga ega va bu hosilalarni (14) formulada integral ostida differensiallash natijasida hosil qilish mumkin.

O’RTA QIYMAT HAQIDAGI TEOREMA

funksiya biror sharda garmonik bo’lib, sharning chegarasida uzluksiz bo’lsin. U holda, funksiyaning shar markazidagi qiymati, shu sharni chegaralab turuvchi sferadagi qiymatlarning o’rta arifmetigiga teng.
Teorema shartidagi sharning markazi nuqta va rdiusi ga teng bo’lsin.Bu sharni bilan va uni chegaralab turgan sferani orqali belgilab olamiz. bilan sharga konsentrik bo’lgan radiusli sharni, orqali uning chegarasini belgilaymiz. bo’lgani sababli (12) formulaga asosan

Bu formulada deb olamiz.U holda bo’lib, - tashqi normal bo’lgani uchun radius bo’yicha yo’nalgan bo’ladi.Shu sababli

va oldingi formula

ko’rinishida yoziladi. funksiya sharda garmonik va sinfga tegishli bo’lgani uchun

Natijada
(15)
formulaga ega bo’lamiz. funksiya shrda uzluksiz bo’lgani uchun da integral ostida limitga o’tish mumkin.
Demak,
, (16)
(16) formulaning o’ng tomoni funksiyaning sferadagi qiymatlarining o’rta arifmetigidan iboratdir.
bo’lganda

(15) formulani

ko’rinishida yozib olamiz.Bu tenglikni bo’yicha oraliqda integrallab,
(17)
formulaga ega bo’lmiz, bunda sharning hajmidir. (16) va (17) formulalar mos ravishda sfera va shar bo’yicha garmonik funksiyalar uchun o’rta arifmetik formulalar nomi bilan ham yuritiladi.