Mavzu. Ikkinchi tartibli chiziqlar

Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
Koordinata o‘qlarini parallel ko‘chirish – bu sistemadan uning o‘qlari yo‘nalishlarini va masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordina-talar boshining joylashishini o‘zgartirish orqali yangi sistemaga o‘tishdir.
Yangi sistemaning koordi-natalar boshi eski sistemada koordinatalarga ega bo‘lsin, ya’ni . Tekislik ixtiyoriy nuqtasining sistemadagi koordinatalarini bilan va sistemadagi koordinatalarini bilan belgilaymiz (11-shakl).
U holda

18-shakldan topamiz: .
Bundan

yoki
(10.12)
(10.12) formulalar nuqtaning sistemadagi koordinatalarini sistemadagi koordinatalar orqali topish imkonini beradi, va
aksincha.
10.7 -misol. tenglamani koordinatalar sistemasini parallel ko‘chirish orqali soddalashtiring.
Yechish. Berilgan tenglama koordinatalar sistemasida markazi nuqtada yotuvchi va radiusi ga teng aylana ifodalaydi.
koordinatalar sistemasi nuqtaga parallel ko‘chirilsa, berilgan tenglama yangi sistemada ham aylana tenglamasini beradi.
(10.12) formulalarni qo‘llab, topamiz:

U holda berilgan tenglama sistemada

ko‘rinishni oladi, ya’ni markazi koordinatalar boshida bo‘lgan va radiusi ga teng aylanani ifodalaydi.
Aylana grafigini va sistemalarda chizamiz (12-shakl).


Koordinata o‘qlarini burish
Tekislikda to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi berilgan bo‘lsin.
Koordinata o‘qlarini burish – bu sistemadan uning koordinatalar boshini va o‘qlari masshtablarini o‘zgartirmasdan faqat koordinata o‘qlarini biror burchakka burish orqali yangi sistemaga o‘tishdir.
sistemani nuqta atrofida soat strelkasi yo‘nalishiga teskari yo‘nalishda burchakka burib, sistemaga o‘tamiz. Tekislik ixtiyoriy nuqtasining sistemadagi koordinatalarini bilan va sistemadagi koordinatalarini bilan belgilaymiz. nuqta radius vektorining uzunligi ga, uning o‘q bilan tashkil qilgan burchagi ga teng bo‘lsin (13-shakl).
20-shakldan topamiz:
(10.13)
va
(10.14)
(10.14) tengliklar ustida almashtirishlar bajaramiz va (10.13) tengliklarni hisobga olib, topamiz:




Demak,
(10.15)
(10.15) formulalarga koordinata o‘qlarini burish formulalari deyiladi. Bu formulalar nuqtaning sistemadagi koordinatalarini
sistemadagi koordinatalar orqali topish imkonini beradi, va aksincha.
10.8 -misol. tenglamani koordinata o‘qlarini ga burish orqali kanonik shaklga keltiring.
Yechish. (10.15) tengliklardan da topamiz:


va ni tenglamaga qo‘yamiz:
,


Bu tenglama giperbolaning kanonik tenglamasi hisoblanadi, ya’ni tenglama bilan aniqlanuvchi chiziq sistemada tenglama bilan aniqlanuvchi giperbolani ifodalaydi.
Demak, funksiyaning grafigi asimptotalari koordinata o‘qlari bilan
ustma-ust tushadigan teng tomonli giperboladan iborat (14-shakl).
Koordinata o‘qlarini burchakka burish orqali (10.11) tenglamada koordinatalar ko‘paytmalari qatnashgan hadni yo‘qotamiz, ya’ni bu tenglamani
(10.16)
ko‘rinishga keltiramiz.
(10.11) tenglamada bo‘lsin. Koordinata o‘qlarini burish formulalari

yordamida eski koordinatalarni yangi koordinatalar orqali ifodalaymiz:
.
burchakni shunday tanlaymizki, oldidagi koeffitsiyent nolga aylansin, ya’ni

tenglik bajarilsin.
Bundan
(10.17)
Shunday qilib, koordinata o‘qlarini (10.18) shartni qanoatlantiruvchi
burchakka burish (10.11) tenglamani (10.16) tenglamaga keltiradi.