1-§.Ikki karrali integral va uni hisoblash. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin.
1-teorema. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud va chekli bo‘lsa, u holda
integral ham mavjud bo‘ladi va
bo‘ladi.
Isbot. sohani
bo‘laklarga ajratamiz. Bu bo‘linishni deb belgilaymiz. Uning diametri
.
funksiya sohada integrallanuvchi ekan, u shu sohada chegaralangan bo‘ladi. Binobarin, funksiya har bir da chegaralangan, demak, u shu sohada aniq yuqori hamda aniq quyi chegaralariga ega bo‘ladi.
Ravshanki, uchun , xususan uchun ham bo‘ladi. Teoremaning shartidan foydalanib quyidagini topamiz:
bo‘lishini topamiz. Bu esa teoreman isbotlaydi.
2-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
bo‘ladi.
1-natija.Agar funksiya sohada berilgan va uzluksiz bo‘lsa, u holda
integrallarning har biri mavjud va ular bir biriga teng bo‘ldi.
3-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida
integral mavjud bo‘lsa, u holda ushbu
integral ham mavjud bo‘ladi va
bo‘ladi.
4-teorema. funksiya sohada berilgan va integrallanuvchi bo‘lsin. Agar o‘zgaruvchining har bir tayin qiymatida