Matematika fizika masalalarini yechishni sonli usullari. Dastkabki tushunchalari

Matematika fizika masalalarini yechishni sonli usullari. Dastkabki tushunchalari
Xususiy hosilali differensial tenglamalar fan va texnikaning turli soxalarda uchraydi, ammo ularning yechimini oshkor ko’rinishda chekli fo’rmula shaklida topish kamdan kam hollarda mumkin bo’ladi. Shu munosabat bilan matematik fizika masalalari deb ataluvchi xar hil xususiy xosilali difrensial tenglamalarni, xususiy xosilali differensial tenglamalar sistemasi va integral tenglamalarni taqribiy yechish metodlari muhim ahamyatga ega.
Matematika fizika kurslarida o’zgaruvchilarning soni va hosilaning tartibi bo’lgan tenglamalar qaraladi. Biz asosiy diqqatni ikki erkli o’zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli diffrensial tenglamalarga qaratamiz. Bunday tenglamalar misolida qaraladigan metodlarning asosiy g’oyasi yaxshi tushunarli bo’lib, hisoblash sxemasi xam soddaroq bo’ladi.
Shuni ham takidlash keraki, bitta tenglama uchun qaraladigan metodlarni bir necha noma’lum funksiyalarni o’z ichiga olgan tenglamalar sistemasi uchun ham tadbiq qilish mumkin.
To’r metodi, turg’unlik, approlksimatsiya va yaqinlashish. To’r metodi (chekli-ayirmali metod) xususiy hosilali diffrensial tenglamalarni yechishning keng tarqalgan metodidir.
To’r metodining g’oyasi. To’r metodining g’oyasi bilan
(1)

tenglama uchun Dirixle masalasini yechish misolida tanishamiz. Bunda koifsentlar va ozod had chegarasi dan iborat bo’lgan chekli soxada aniqlangan ikki va o’zgaruvchilarning funksiyasidir. Bu funksiyalar yopiq soxada aniqlangan xamda da va shartlarni qanoatlantiradi, deb faraz qilamiz.

Faraz qilaylik (1) tenglamaning da uzluksi va da berilgan qiymatlarni qabul qiladigan, ya’ni
(2)
yechimini topish talab qilinsin, bunda uzluksiz funksiyadir.
Taqribiy yechimning sonli qiymatlarini topish uchun tekisligida

parallel to’g’ri chiziqlarning ikkita oilasini o’tkazamiz. Bunda va mos ravishda abssissa va ordinata yo’nalishlaridagi qadamlar deyiladi. Bu to’g’ri chiziqlarning kesishgan nuqtalri tugunlar deyiladi, tugunlar to’plami esa to’rni tashkil etadi. Odatda va qadamlar bir biriga bo’g’liq ravishda tanlanadi, masalan, ( va qandaydir sonlar ), xususiy holda . Shuning uchun ham qaralayotgan to’r bitta parametrga bog’liq bo’lib, qadam kichrayganda .
Agar ikkita turg’un o’qi yoki o’qi bo’ylab to’rning shu yo’nalishi bo’yicha bir- biridan bir qadam uzoqlikda joylashgan bo’lsa, ularni qo’shni tugunlar deymiz.
Faqar da yotgan tugunlar to’plamini qaraymiz. Agar biror tugunni to’rtala qo’shni tugunlari to’plamida yotsa, u holda bu tugunni ichki tugun deymiz. Ichki tugunlar to’plamini to’r soxa deymiz va orqali belgilaymiz. Agar tugunning hech bo’lmaganda birorta qo’shnisi da yotmasa, u holda bu tugun chegaraviy tugun, ularning to’plamini esa to’r sohaning chegarasi deymiz va orqali belgilaymiz (1-chizmada ichki tugunlar 0 bilan chegaraviy tugunlar bilan belgilangan)
A gar to’r soha chegarasi bilan birgalikda
qaralsa, u holda yopiq to’r soha deyiladi va orqali belgilanadi.
Biz to’r ustida aniqlangan funksiya uchun belgilash kiritamiz va har bir
tugun uchun (1) tenglama qatnashgan barcha hosilalarini bo’lingan ayirmalar bilan quydagicha almashtiramiz:

1-chizma
(3)

(4)
(5)
(6)
bunda miqdorlar yechimning to’rining tugundagi taqrbiy qiymatlaridir. Tenglama koiffsentlarining tugunidagi qiymatinni , , , , , , , orqali belgilaymiz. Hosilalar o’rniga (3)-(6) taqribiy qiymatlarni qo’yib, natijada (1) differensial tenglamaga mos keladigan quydagi ayirmali tenglamaga ega bo’lamiz:
(7)
Bunday tenglama har bir ichki tugun uchun yozish mumkin. Agar chegaraviy tugun bo’lsa, u holda ni bu tugunga yaqinroq bo’lgan ni ustudagi qiymatga teng deb olamiz (chegaraviy tugunlarda larning qiymatini boshqa yo’l bilan topishni biz keyinroq ko’rib chiqamiz). Bu sistemada tenglamalarning soni noma’lumlar soniga teng. Agar bu sistema yechimga ega bo’lsa, u holda uni yechib, ichki tugunlarda qidirilayotgan yechimning taqribiy qiymatiga ega bo’lamiz.
Biz bu yerda to’g’ri burchakli to’rtburchakdan tuzilgan to’rni qurdik. Keyinchalik bashqa xildagi to’rlarni xam ko’rib chiqamiz.
Turg’unlik, approksimatsuya va yaqinlashish. Faraz qilaylik, chegarasi bo’lgan sohada ushbu
(8)
(9)
chegaraviy masala berilgan bo’lsin. Bu yerda ⸺ixtiyoriy ikkinchi tartibli chiziqli differensial operator ⸺birinchi tartibli differensial operator yoki chekli algebraic ifoda, xususiy holda va ⸺ berilgan funksiyalar.
Endi da yotuvchi qandaydir to’r sohni quramiz, keyin orqali ning nuqtalarida (tugunlarida) aniqlangan funksiyalarning fazosini belgilaymiz, operator dagi funksiyalarni biror to’r sohada aniqlangan funksiyalarga o’tkazsin; da aniqlangan funksiyalar to’plamini orqali belgilaymiz. Chegaraviy shartlarni approksimatsyalash uchun soxaning chegarasiga mos keladigan to’r chegarasini tanlab, orqali da aniqlangan funksiyalar to’plamini belgilaymiz.
1-ta’rif. Agar bo’lib, funksiya da aniqlangan bo’lsa, u holda ning to’plamdagi izi deb shunday funksiyaga aytiladiki, u to’plamda aniqlangan va bu yerda bilan ustma-ust tushadi.
Agar funksiya ni o’z ichiga olgan to’plamda aniqlangan bo’lsa, u holda ning dagi izini orqali belgilaymiz.
Faraz qilaylik, (8) va (9) chegaraviy masala yechimlarining fazosi, (8) tenglamaning o’ng tomonidagi funksiyalarining fazosi esa da aniqlangan funksiyalarning fazosi bo’lsin.
2-ta’rif. Faraz qilaylik fazolarda

normalar aniqlangan bo’lsin. Bu normalar moslangan deyiladi, agar da har qanday yetarlicha silliq funksiyalar uchun quydagi

munosabat o’rinli bo’lsa.
3-ta’rif. Agar da

bo’lsa, u holda to’r funksiyasi (8) va (9) chegaraviy masalaning yechimiga yaqinlashadi deyiladi.
Agar ga bog’liq bo’lmagan va o’zgarmas sonlar uchun

tengsizlik bajarilsa, u holda yaqinlashishning tartibi ga nisbatan ga teng deyiladi.
To’r usulida ushbu
(10)
(11)
masalani qaraymiz, bu yerda va ⸺ chiziqli operatorlar.
Endi quydagi belgilashni kiritamiz:
(12)
4-ta’rif. Agar ixtiyoriy silliq funksiyalar uchun da bo’lsa, u holda (8), (9) chegaraviy masalani (10), (11) to’r ustidagi masala approksimatsiyasi qiladi deyiladi.
Agar (10) tenglamani o’ng tomoni

deb olsak, u holda ning ta’rifiga kirgan miqdor no’lga teng bo’ladi. Ammo ayrim hollarda aniqlikni oshirish uchun (8) tenglamaning o’ng tomoni nuqtada deb olinadi.
5-ta’rif. To’r ustidagi (10), (11) masala turg’un (korrekt) deyiladi, agar uchun ga bog’liq bo’lmagan va o’zgarmaslar topilib, ular uchun ushbu tengsizlik bajarilsa:
(13)
Bu ta’rifdan ko’ramizki, chiziqli masala uchun turg’unlik va funksiyalarga bog’liq emas.
Bu ta’rifning ma’nosini tushuntirishga harakat qilamiz. Chiziqli masala uchun (10), (11) ayirmali sxema chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Shuning uchun ham (13) tengsizlikdan bo’lganda (10) ⸺ (11) tenglamalar sistemasi sistemasi faqat trivial yechimga ega. Bundan esa Kroneker-Kaplelli teoremasiga ko’ra (10), (11) masala o’ng tomondagi ixtiyoriy , uchun yagona yechimga ega. Demak, chiziqli masalada turg’unlik shartidan ayirmali tenglamalar sistemasining o’ng tomoni ixtiyoriy funksiyalar bo’lganda ham yagona yechimga egaligi kelib chiqadi.
Agar funksiyalar quydagi

ayirmali masalalarning yechimi bo’lsa, u holda va operatorlar chiziqli bo’lganda (13) tengsizlikka ko’ra quydagiga ega bo’lamiz:
(14)
Shunday qilib, agar tenglama va chegaraviy shartlarning o’ng tomonini bir-biridan kam farq qilsa, u holda turg’unlik sharti bajarilganda to’rdagi masalaning yechimi bir-biridan kam farq qiladi.
Yuqorida keltirilgan yaqinlashish, approksimatsiya va turg’unlikning ta’rifidagi fazolarda aniqlangan normalar muhim axamyatga ega. Shunday hollar bo’lishi mumkini, (13) tengsizlik nima sababdan bajarilmasligini tekshirish kerak.
Agar normalar noqulay olinganligi sababli (13) tengsizlik bajarilmagan bo’lsa, u holda
fazolarda normalarni boshqacha tanlab, (13) tensizlikning bajarilishini ta’minlash kerak. Agar (13) tengsizlik normaning xech biri uchun ham bajarilmasa, u holda bu ayirmali sxemaning noto’g’riligini bildiradi.
Biz yuqorida to’rdagi normalar moslangan bo’lishi kerak degan edik. Masalani tekshirishda ko’pincha va larning moslangan normalari sifatida quydagilar olinadi:
(15)
yoki
(16)
Bu normalarda
Faraz qilaylik, bo’lsin. miqdor masalaning yechimidagi tenglama approksimatsiyaning xatoligi deyiladi, miqdorlar esa masalaning yechimidagi shartlar approksimatsiyasining xatoligi deyiladi. Ushbu

belgilashlarni kiritamiz.
Agar funksiya (8), (9) masalaning yechimi bo’lsa, u holda

miqdor (8), (9) differensial masalani (10), (11) ayirmali sxema bilan approksimatsiyalashda yechimdagi xatoning o’lchovi deyiladi. Agar da munosabat o’rinli va funksiya (8), (9) masalani yechimida approksimatsiya qiladi deyiladi; da ning tartibli yechimidagi approksimatsiyasining tartibi deyiladi.
Turg’unlik va approksimatsiyasining yaqinlashish bilan aloqasi. Bu tushunchalar orasida quydagi aloqa mavjud: approksimatsiya va turg’unlikdan yaqinlashish kelib chiqadi.