Chekli-ayirmali tenglamalar

Teorema. Faraz qilaylik, barcha п 0 uchun а₀(п) 0 bo`lib, а<sub>i</sub>(п) lar chegaralangan bo`lsin. U holda L(z) = 0 bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
(11.6)
bo`lib funksiyalar L(z) = 0 ning chiziqli erkli yechimlaridir.
Isbot. (11.4) tenglamani quyidagi (f(n) = 0 bo`lganda)

ko`rinishda yozib olamiz. Agar z<sub>0</sub>,, z<sub>1</sub> ..., z <sub>n</sub> berilgan bo`lsa, (11.4) dan ketma-ket z_p , z_{p +1} ,… larni topib olamiz. Demak ixtiyoriy z₀,,z_{1 ,…,}z_p-1 uchun L(z) = 0 tenglama yechimga ega. Bu yechim yagona, chunki qar qanday yechimning qiymati (11.7) tenglamani qanoatlantiradi, bu tenglamadan esa эса z_p , z_{p + 1} ,… larning qiymatlari yagona ravishda aniqlanadi.
Endi z_n⁽ⁱ⁾ orqali L(z) = 0 tenglamaning (i,j =1,2, ...,p) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini belgilaylik.
Bu yechimlar chiziqli erkli sistemani tashkil etadi. Haqiqatan ham
(11.8)
bo`lsa, u holda j =1,2, ..., p uchun

Demak (11.8) tenglik faqat si =0 (i = 1,p ) bo`lgandagina bajariladi va shuning uchun ham funksiyalar chiziqli erklidir.
Endi L(z)=0 ning ixtiyoriy yechimini (11.6) ko`rinishda yozish mumkinligini ko`rsatamiz. Faraz qilaylik, у<sub>п</sub> L(z) = 0 ning biror yechimi bo`lsin. U holda

funksiya bu tenglamaning dastlabki shartlarini qanoatlantiradigan yechimi bo`ladi. L(z) tenglama yechimining yagonaligidan
(11.9)
kelib chiqadi. Teorema isbot bo`ldi.
Endi o`zgarmas koeffisiyentli chiziqli-ayirmali tenglamani

va unga mos keluvchi bir jinsli
L(z)= (11.10)
tenglamani qaraymiz. Oxirgi tenglamaning xususiy yechimini ko`rinishda izlaymiz, u holda

Demak, xarakteristik tenglama deb ataluvchi

tenglamaning har bir yechimiga (11.10) tenglamaning _i" xususiy yechimi mos keladi.
Agar xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari tub bo`lsa, u holda p ta har xil yechimga ega bo`lamiz. Xarakteristik tenglamaning har biri k karrali ildiziga (11.10) tenglamaning k ta har xil
(11.11)
yechimlari to`g`ri kelishini ko`rsatamiz. Buni karrali ildizlar haqiqiy bo`lgan hol uchun qarash bilan kifoyalanamiz, chunki aytilgan gaplar kompleks bo`lgan hol uchun ham o`rinlidir.
Xarakteristik kop`hadni ko`paytuvchilarga ajratamiz:

Haqiqiy parametrni olib, quyidagi ikki shartni qanoatlantiruvchi ni olamiz:
1) barcha i = 1,2,..., k uchun lar har xil;
2) barcha i к uchun
Bu ildizlarga moc keladigan xarakteristik tenglamani tuzamiz:

Ko`rinib turibdiki, Bu xarakteristik tenglamaga
(11.12)
ayirmali tenglama mos keladi. Endi faraz qilaylik > 0 uchun (11.12) tenglamaning shunday yechimini ko`rsata olaylikki, ixtiyoriy п > 0 uchun limit mavjud bo`lsin. Agar ni hisobga olib, (11.12) tenglamada limitga o`tsak u holda z_n limitdagi funksiya (11.10) tenglamaning yechimi ekanligini ko`ramiz. Shunday ketma-ket-liklarni ko`ramizki, ular (11.10) tenglamaning karrali ildiziga mos keladigan xususiy yechimiga yaqinlashsin. Bunday qurishni amalga oshirish uchun bo`lingan ayirmalardan foydalanamiz. Avval ildiz ikki karrali bo`lgan holni ko`ramiz, buning uchun deb belgilab,

birinchi tartibli bo`lingan ayirmani olamiz. Ko`rinib turibdiki, bu funksiya (11.10) tenglamani qanoatlantiradi. Endi ni hisobga olib, limitga o`tamiz:

Shunday qilib, biz ikki karrali ildizga mos keladigan yana bir yechimga ega bo`ldik. Endi ning karraligi ikkidan katta bo`lgan holni ko`rib chiqamiz. Buning uchun 5-bobdagi bo`lingan ayirmalar nazariyasiga oid ikkita formuladan foydalanamiz:

bu yerda Ixtiyoriy 1 q к uchun orqali ning q tartibli bo`lingan ayirmasini belgilaymiz, (11.13) ga ko`ra:

Ko`rinib turibdiki, (11.12) tenglamani qanoatlantiradi. So`ngra, (11.14) dan foydalanib, ni quyidagicha yozishimiz mumkin .
Bu yerda bo`lgani uchun holda limitga o`tib,

ni hosil qilamiz. Shunday qilib, k karrali xarakteristik ildizga k ta har xil (11.11) funksiyalar mos kelishini ko`rsatdik. Endi faraz qilaylik,
(11.15)
xarakteristik tenglama m ta, karraliklari mos ravishda к<sub>х</sub>, к<sub>2</sub>, ..., к<sub>т</sub> larga teng bo`lgan har xil ildizlarga ega bo`lsin. Bu ildizlarga (11.10) tenglamaning quyidagi xususiy yechimlari to`g`ri keladi:
(11.16)
Bu yerda к<sub>х</sub> + к<sub>2</sub> + ... + к<sub>т</sub> = р bo`lgani uchun (11.15) ning yechimlari soni p ga teng.
Agar o`zaro chiziqli erkli bo`lib L(z) = 0 ning har qanday yechimini ularning chiziqli kombinatsiyasi shaklida ifodalash mumkin bo`lsa, u holda bir jinsli tenglamaning yechimi fundamental sistema tashkil etadi deyiladi.