Chegirmalar nazariyasi

Chegirmalar va ularni hisoblash
Faraz qilaylik, funksiya

sohada golomorf bo’lib, nuqta bu funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasi bo’lsin. funksiya da ushbu Loran qatoriga yoyaylik.
(1)
Ravshanki, bu qator sohada yaqinlashuvchi, jumladan sohaga tegishli
bo’ladi.

aylana ham tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, (1) qatorni aylana bo’yicha hadlab integrallash mumkin:

Bu yerda da musbat yo’nalish olingan.
Ma’lumki,

bo’ladi, ya’ni,

bo’lishini topamiz.
Ta’rif. Ushbu

miqdor, ya’ni funksiyaning Loran qatoriga yoyilmasidagi koeffisient funksiyaning yakkalangan maxsus nuqtasidagi chegirmasi deyiladi va kabi belgilanadi:
(2)
Bu ta’rifdan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar nuqta funksiyaning bartaraf etiladigan maxsus nuqtasi bo’lsa, funksiyaning shu nuqtadagi chegirmasi nolga teng bo’ladi:

Chegirmalarni hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalanamiz:
1) Agar nuqta funksiyaning birinchli tartibli qutb nuqtasi bo’lsa,

bo’ladi.
2) Agar uchun va funksiyalar a nuqtada golomorf bo’lib,
=0, 0 bo’lsa, u holda

bo’ladi.
3) Agar nuqta funksiyaning -tartibli qutb nuqtasi bo’lsa,

bo’ladi.
4) Agar nuqtada funksiya golomorf bo’lsa,

bo’ladi.
5) Agar f(z)= bo’lib, funksiya nuqtada golomorf bo’lsa,

bo’ladi.

1. 
   Chegirmalar haqidagi teoremalar.
   

Teorema. Faraz qilaylik, funksiya bir bog’lamli D sohada berilgan bo’lib, shu sohaga tegishli chekli sondagi maxsus nuqtalardan boshqa barcha nuqtalarda golomorf bo’lsin. Bu yakkallangan maxsus nuqtalar D sohada yotuvchi silliq yopiq chiziq ichida joylashsin. U holda

bo’ladi.Bunda yopiq chiziq musbat yo’nalishda olingan.
I s b o t . Markazlari nuqtalarda,yetarlicha kichik radiusli aylanalarni olamizki, bu aylanalar yopiq chiziq ichida yotsin va
bo’lsin.U holda Koshining ko’p bog’lamli sohalar haqidagi teoremasiga ko’ra
(3)
bo’ladi,bunda aylanalarda soat strelkasi yo’nalishiga qarshi yo’nalish olingan.
Agar

ekanligini e’tiborga olsak, unda (3) tenglikdan

bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa teoremani isbotlaydi.
Bu teoremadan funksiyalarning integrallarini hisoblashda foydalaniladi.
Teorema. Faraz qilaylik, funksiya kengaytirilgan kompleks tekislikning chekli sondagi maxsus nuqtalaridan boshqa barcha nuqtalarda golomorf bo’lsin. U holda bu funksiyaning nuqtalardagi hamda nuqtadagi chegirmalar yig’indisi nolga teng bo’ladi:

I s b ot.Tekislikda R radiusli shunday

aylanani olamizki, yakkalangan maxsus nuqtalar shu aylana ichida joylashsin. Bu aylanada yo’nalishni musbat qilib olamiz.
Yuqorida isbot etilgan teoremaga ko’ra
(4)
Ikkinchi tomondan,
(5)
bo’ladi.
(4) tenglikdan (5) tenglikni hadlab ayirib, topamiz:

Demak,

teorema isbot bo’ldi.
Misol.
Ushbu

funksiyaning nuqtadagi chegirmasini toping.
Berilgan funksiyani nuqtaning teshik atrofi da (z-1) ning daraajalari bo’yicha Loran qatoriga yoyamiz:



Bu yoyilmadan bo’lishi kelib chiqadi.
Teoremadan foydalanib, berilgan funksiyaning nuqtadagi chegirmasi

ga teng bo’ladi.
Misol. Ushbu funksiyaning nuqtadagi chegirmasini toping.
Berilgan funksiyani ning darajalari bo’yicha Loran qatoriga yoyamiz:

Demak,

va bir funksiyaning nuqtadagi chegirmasi

ga teng bo’ladi.
Misol. Ushbu funksiyaning barcha maxsus nuqtalardaagi chegirmalarini hisoblang.
Berilgan funksiyani yozib olamiz:

Demak, nuqtalar funksiyaning birinchi tartibli nuqta esa 2-tartibli qutb nuqta bo’ladi.
(1), (3) va (4) formulalardan foydalanib, funksiyalarning chegirmalarini topamiz.



Misol. Ushbu funksiyaning barcha chekli maxsus nuqtalardagi chegirmalarini toping.
Ravshanki,

bo’lib, nuqtalar uning C dagi maxsus nuqtalari bo’ladi. Berilgan funksiyaning bu nuqtalardagi chegirmalarni (2) formuladan foydalanib topamiz:
Agar deyilsa, unda bo’ladi.
Demak,

Misol. Ushbu

funksiyaning nuqtadagi chegirmasini hisoblang.
Berilgan funksiyaning nuqtadagi chegirmasini (5) formuladan foydalanib hisoblaymiz.

deyilsa, bu funksiya nuqtada golomorf
Demak,

ga teng bo’ladi.
Misol. Ushbu funksiyaning barcha chekli maxsus hamda nuqtadagi chegirmalarini hisoblang.
Berilgan funksiyani

ko’rinishda yozib, uning maxsus nuqtalari birinchi tartibli qutb nuqtalar, ikkinchi tartibli qutb nuqta va , o’ta maxsus nuqta bo’lishini aniqlaymiz.
larni hisoblash da(1) formuladan foydalanamiz:


3) formulaga ko’ra ni hisoblaymiz:

ga teng bo’ladi.