Asosiy qism

II. ASOSIY QISM.
"Ikkinchi tartibli differenstil tenglmalar nazariyasi taqqoslach teoremasi.Chegaraviy
masalalar. Grin funksiyasi. Grin funksiyasining mavjudligi va yagonaligi
haqida"mavzusi bo‘yicha tarqatma material
Ma'lumki ikkinchi tartibli bir jinsli
y" + P1^(x) y' + P2^(x) y = ^{0 (1)}
tenglamaning bitta y₁( x) xususiy yechimi ma'lum bo'lsa, uning umumiy yechimi





У = У1

j c₁£^{-j p}i^{( x)dx}

y₁²

dx + C2

formula bilan aniqlanar edi. Bunda P₁(x) ва P₂(x) lar ko'rilayotgan oraliqda uzluksiz
funksiyalardir.

KIRISH. 2
I. 2
F(x, у, у', у”,..., y¹”) = 0 (1) 2
к 5
) 5
d_ ^f I 5
= e = e^{ln x} = x 5
к ^a ) 5
^J p^(x) 5
I" 7> 1111 8
Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi yechimlari. Taqqoslash teoremasi 8
^xk = ^xk+1 ^{- x}k = = - 9
Shturm teoremasi 11
^P < i— 13
< 13
) 14
—- 14
Chiziqli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli chegaraviy masala. 16
Bir jinsli bo‘lmagan chegaraviy masala. 18
III. XULOSA. 22
^f ' dx + c₂ 22
^d f p^{( x) dy} V q^{( x)} у =⁰ 22
IV. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR: 24

bundan kurinadikim, o'ziga qo'shma differensial tenglamada у' oldidagi koeffisiyent y" oldidagi koeffisiyentning hosilasiga tengdir.
Xossa1 Xarqandayikkinchitartiblibirjinslichiziqlitenglamanio'zigaqo'shmabo'lgandifferen sialtenglamagakeltirishmumkin.
^P0^(x) У"+^р1(^х) У'+^P2^(x) У = ⁰ (3)
differensial tenglama berilgan bo'lsin. P_o(x) Ф 0.
(3) tenglamaning xar ikkala tomonini p(x) ga ko'paytirganda,yo'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga aylansin, ya'ni quyidagi shart bajarilsin.
⁽P^P0⁾ ' = P^P1
Bundan p'Pp - pP_{} = p, p' P0 = p (P1 - P0)
^dP = ^pL-^pi dx = - ^P0^x> dx₊^P(x) dx
p р0 р0( x) р0( x)
integrallasak

bunda


ln p = — ln Po + I^PX'⁾ dx + C, C = 0 ^o Po(x)
, pS»* ц = _L_e ^po<x)
P>( x)
_fP1( x)
1 ^J
P° (x) e
°⁽ Po(x)
P^ dx


d_ ^f I
dx


P0(x)


dx i | dx
y" + Pl(x)-^e ''
P0(x)
„ , \ I—dx
+ W e^J P^x) y = о
Po( x) ^Л


P ( x ) dx
+ш e '' _y=о
P0(x)


к
ax j
Po( x) ^dy ^dx I
)
Idx p(x) = e ^Po(x)


(6)


_| S™. dx q^(x)=Px^{e Po(x)
P}o^{( x)}
deb olsak (2) tenglamaga ega bo'lamiz (6) dan ko'rinadikim
p(x) > 0.
Misol-1 Bessel tenglamasini o'ziga qo'shma bo'lgan differensial tenglamaga keltiring.
x² y” + xy' + (x² — n²) y = 0
Bu yerda p_o (x) = x² p₁(x) = x p₂ (x) = x² - n²
J PL(x) dx p(x) = e ^Po(x) = e ^x
: dx
po(x)


P2(x)


\^^Xdx


dx
= e = e^{ln x} = x


q( x) = e
p0(x)
c


2 2 2
x - n n
- x = x _x² x


^{d f}_xdy dx к dx )


x— I + x y = 0


к ^a )
Bu Bessel tenglamasiga qo'shma bo'lgan differensial tenglamadir.
Xossa 2. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani erklio'zgaruvchini almashtirish yordamida uni xamma vaqt y""+Q(t)y =o
Ko'rinishga keltirish mumkin.
Bunda Q(t) g C(I) I = (a; b)
Faraz etaylik ikkinchi tartibli differensial tenglama o'ziga qo'shma xolga keltirilgan bo'lsin. ^d к p^{( x) d} V q^{( x)} y = ⁰ dx к dx )


(8)


(9)


Bunda


dx
t = I
^J p^(x)


Almashtirishni olamiz.
(16) ga asosan



p(x) Ф 0, p(x) > 0bo'lgani uchun




dt
dx

1
P^{( x)}

> 0ga ega bo'lamiz.

Bundan t o'zgaruvchi ning monotan o'suvchi funksiyasi ekanligi kelib chiqadi.
Bundan chiqadikim, xam ning uzluksiz va differensiallanuvchi funksiyasi sifatida
interavalda aniqlanadi.
dy dy dt 1 dy
desak— = = bajariladi.
dx dt dx p( x) dt
U xolda ^d(p^] = ^[p(x)'^d '^d ' ^d&] (11)
dx dx) dt p(x) dt) dx p(x) dt dt)
(11) ga asosan (9) \ — | + q( x) y = 0 (10)ni e'tiborga olsak keyingi tenglamani
p(x) dt dt)
_d²_y
+ Q(t) y = 0
dt²
ko'rinishda yoza olamiz.
Bunda ^Q(t⁾ = p⁽p^{(t ))}q⁽^^(t))
Misol-2 xy" + i y’ - y = 0

dx
р = ¹ £ 1^x
x

1 ^1ln(x)
= — e¹

1 1
Off¹ Or
X² y ■ X ² y - X
2

dx

1 A
_x 2 dy dx
к 7

-x

—2 ^- У = ⁰ ^1,2 = i¹
_dt2 ^1,2
-t . t -2y[x, -Hx
y — C1e + C2e — C1e + C2e
Xossa 3. Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli tenglamani, noma'lum funksiyani chiziqli almashtirish yordamida.
z” +1 (x) z = 0

ko'rinishga keltirish mumkin.
y" + p( x) y' + q(x) y = 0 (12)

tenglamada y = u(x) z

(13)

almashtirishni olamiz. Bundan
y = uz ■ u z y = uz ■ 2u z ■ u z

Bu qiymatlarni (12) ga qo'ysak
uz" + 2u z ' + u" z + p( x)(uz' + u' z) + q(x}uz = 0

uz ■ (2u ■ p(x)u) z ■ (u ■ p(x)u ■ q(x)u)z = 0

(14)

z" ■ | ■ p(x) |z' + — (u" + p(x)u' + q(x)u)z = 0
к u 7 u

u( x) ixtiyoriyfunksiyabo'lganiuchununishundaytanlabolamizkim

2u
■ p(x) = 0
u

bajarilsin.

du
u

u =e ²

bundan	i — J p(x)dx u' = -—p(x)e 1

—1 P( x)dx


1 1

1. 
   • x 2 = x~ 2
   

2
^-1J p^{( x)dx} 1 о ^-1J P^{( x)dx
1 2} + —p²(x)e ²
Bu qiymatlarni (14) ga qo'ysak
¹ j p( x)dx
z” + e ²
i -¹ J p(x)dx i , -¹ J P(x)dx C i A -¹ J p(x)dx -¹ J p(x)dx
1 p’(x)e 2' +1 p²(x)e ²' + p(x{-1 p(x)\e ² + q(x)e 2^J


z " +1 (x) z = 0
^z" + ⁽q^{( x) -1} p'^{(x) -1} p^{2 (x))z} i = q^{( x) -1} p'^{(x) -1} p^{2( x)}
Bunga (12) tenglamaning invarianti deyiladi.
c
Agar invariant o'zgarmas songa yoki I = ko'rinishga ega bo'lsa u holda ikkinchi
(x + a)¹
tartibli chiziqli differensial tenglamani xamma vaqt integrallash mumkin. Chunki bu xolda (12) tenglama yo koeffisiyentlari o'zgarmas tenglamaga yoki Eyler tenglamasiga keltiriladi.









y"

q(x) = 1;

I=2

p^{( x)} = - x
I" 7> 1111
’ Л,2 = '⁷

1 4=1
_x² _x²
z = qcos x + C2sin x

-¹J ² dx
u=e ^{2 x}

= e~^{ln x} = ¹
x

y = uz = ¹(c₁cosx + c₂sin x)
_x 1 2
Misol-3 xy" + 2 y' + xy = 0

Ikkinchi tartibli bir jinsli chiziqli differensial tenglamani tebranmas va tebranuvchi
yechimlari. Taqqoslash teoremasi
Koeffisiyentlari o'zgarmas bo'lgan, ikkita ikkinchi tartibli y"- a² y = 0 (1)
y" + a²y = 0 (2)
differensial tenglamalar berilgan bo'lsin.
Bunda a = cos t
Ma'lumki (1) tenglamaning xususiy yechimlari y₁ = e^-ax, y₂ = e^ax dan iborat bo'lib
Uning umumiy yechimi y = C1e^ax + C2e^ax dan iborat.
Uning nolini topamiz

-ax . ax _n
су + C2e = 0
a > 0 c— < 0

2ax
Cl + C2e = 0


g2ax _ ^c1
^c2


2ax = ln - —^1
c2


^{1 c}1
x = — ln —¹ 2a


^—1


^—2


(-, ) da bittadan ortiq nolga ega emas.


ya'ni (1) tenglamaning yechimi
(1) tenglamaning umumiy yechimi y = qcosax + —2 sin ax = Asin(ax + p) ning nolini topamiz:
A sin(ax + p) = 0 axk + p = nk
nk p n(k +1) nk n
^xk = ^xk+1 ^{- x}k = = -
a a a a a
ya'ni (2) tenglama (-<», ) oraliqdacheksizko'pnollargaegabo'lib,
n
ketikkitanolorasidagamasofa — gateng.
a


ketma-


n
Uzunligi dankattabo'lganxarbiroraliqda (2) tenglamaningixtiyoriyyechimmmgbittanoliyetadi, a
2n
uzunligi — dankattabo'lganixtiyoriyintervaldaesa 2 tanoliyotadi.
a