Asosiy ayniyat. Birlik aylana ixtiyoriy p fx y j nuqtasining koordinatalari I, ■> I x

Triganametriya va ular ustida amallar!!!
Asosiy ayniyat. Birlik aylana ixtiyoriy P fx ^ y J nuqtasining
koordinatalari
i , ■>
_ I
X-
+ y- - 1
tenglamani qanoatlantiradi (katetlari |xj va [y j , gipotenuzasi 1 ga
teng bolgan to‘g‘ri burchakli uchburchak uchun Pifagor teoremasiga
ko‘ra; 111-rasmga qarang). Demak,
sin2a + cos2a = 1.
tenglik a ning istalgan qiymatida bajariladi va asosiy trigonometrik ayniyat deyiladi.
Bu tenglikdan sina ni cosa va aksincha cosa ni sin a orqali
ifodalash mumkin:
sin a = ±Vl - cos2 a , (2)
co sa = +V1 - s in 2 a • (3)
(2), (3) formulalarda ildiz oldidagi ishora formulaning chap qismidagi ifoda ishorasi bilan aniqlanadi.
4 .2 . A yni bir burchakning sinusi, kosinusi, tangensi va kotangensi
orasidagi munosabatlar. Tangens va kotangensning ta’riflanishiga
ko‘ra
tg a = sin a , c tg a = co--(- .
cosa sina
Bu tengliklarni ko'paytirib,
tga ctga = 1, sin a * 0, co sa * 0. (4)
tenglikni hosil qilamiz. (4) dan
tga = 1 , sin a
Ф 0, co sa * 0; (5)
ctga
ctga = 1 , sin a * 0, co sa * 0. (6)
tga
(1) ayniyatda uning har ikkala qismining cos2a ga b o iib ,
l + tg2a = 1 , ( c o s a * 0 ) (7)
cos a
tenglikni hosil qilamiz
formuladan tangensni kosinus va kosinusni tangens orqali
ifodalash mumkin:
, J l- c o s 2 a i
tg a = ± ; cos a = ± ,——
cosa ’ \/Г+1ё 2а
Shunga o‘xshash, (8) formuladan kotangens sinus orqali, sinus
kotangens orqali ifodalanadi:
, J l - s i i i 2 a
ctga = ± ; sin a = ±
s i n a '
\ l l+ c tg2a '
2 -m a s a la . Agar cos a = -0 ,8 va * <«<л b o isa, sina, tga,
ctga ning qiymatlarini hisoblang
la . 2
2 ifodani soddalashtirib, uning a =
cos a -c tg a
j
dagi qiymatini hisoblang.
Y e c h ilis h i. Bundan buyon masala-misollarda berilgan ifodalar o‘zgaruvchining qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiym atlarida
o‘rinli deb faraz qilamiz.
Ifodani oldin soddalashtirib, keyin tegishli son qiym atini
hisoblaymiz.
hisoblaymiz.
9 9 9 9 9 л
sin a - t g a _ sin a-cos a - s i n a sin a _
^ cos2 a - c t g 2a cos2 a cos2 a sin2a -c o s 2 a
_ sin4a . cos2 a -1 _ sin4a . - s i n 2a _ sin6a _ to6n
4
■ 2 ■
4
2 6 ° •
cos a sin a - l cos a -c o s a cos a
2) tg6a ni a = ^ dagi qiymatini hisoblaymiz:
Agar sin a + co sa = к ekanligi m a’lum bo‘lsa,
sin3oc + cos3a ni toping.
Y e c h ilis h i. sin3a + cos3a ni ikki son kublarining yig‘indisi
sifatida ko'paytuvchilarga ajratamiz:
sin3a + cos3a = (sina + cosa)(sin2a - sinacosa + cos:a).
Bu ifodada sina + cosa m asala shartiga ko‘ra к ga teng va
sin2a + cos2a = 1 (asosiy trigonometrik ayniyat); sina cosa ko'paytmani m asala shartidagi sin a + cos a — к tenglikning har ikkala
qismini kvadratga oshirib topish mumkin:
sina+ cosa = &<=>(sina+cosa)2 =k2 <=>sin2 a+ 2sinacosa+ cos2 a =
ry i 2 i
= к <=> sin a c o s a = Shunday qilib,
sin3 a + cos3 a = к •( 1 - k
J av o b :
\
k(3-k2)
k(3-k2)
Etibor uchun raxmat!!!