9-mavzu: Ko‘pyoqlilar. Aylanma jismlar. Fazoviy figuralarni tekislikda tasvirlash

3- Teorema. Urinma tekislik shar bilan faqat bitta umumiy nuqtaga – urinish nuqtasiga ega.

160-chizma
4- Teorema. Shar sirtidagi istalgan nuqtadan cheksiz ko‘p urinma o‘tadi, ularning hammasi sharning urinma tekisligida yotadi.
(2-4 teoremalarni isboti talabalarga mustaqil ish qilib beriladi)


Sfera tenglamasi.
Sfera deb, fazoning berilgan nuqtasidan baravar uzoqlikda joylashgan nuqtalar to‘plamiga aytiladi. Sfera tenglamasini tuzamiz. Sferaning markazi A(a, b, c) nuqtada, radiusi esa R bo‘lsin (161-chizma). Sferaning nuqtalari fazoning shunday nuqtalaridan, bu nuqtadan A nuqtagacha masofa R ga teng. Sferaning ixtiyoriy (x, y, z) nuqtasidan A nuqtagacha masofaning kvadrati
ga teng. Shuning uchun sferaning tenglamasi ko‘rinishga ega. Sferaning markazi koordinatalar boshi bo‘lsa, sferaning tenglamasi quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi.

Ikkita sferaning kesishgan chizig‘i aylanadan iborat bo‘ladi. Buni isbot qilish ham mumkin.
Aylanma jism va aylanma sirt
haqida tushuncha.
B iror to‘g‘ri chiziqni yoki egri chiziqni bir to‘g‘ri chiziq atrofida aylantirishdan aylanma sirt hosil bo‘ladi.
Agar aylanma sirtni o‘q deb ataluvchi to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lgan parallel ikkita tekislik bilan kessak aylanma sirt va doira bilan chegaralangan aylanma jism hosil bo‘ladi (147- chizma).
- aylanma jismning o‘qi, jismning egri sirti aylanma sirt deyiladi.
Aylanma sirt parallel tekisliklar bilan kesilsa, kesim doiralardan iborat bo‘ladi.


Fazoviy figuralarni tekislikda tasvirlash
Stereometriyada geometrik yasash masalalarni yechish malakasini o‘quvchilarda shakllantirishning ilk bosqichi fazoning asosiy figuralari nuqta, to‘g‘ri chiziq va tekislik haqida tushuncha berishdan iborat. Planimetriyada barcha figuralar joylashadigan bitta tekislikka ega edik, stereometriyada esa tekisliklar cheksiz ko‘pdir. Yangi geometrik obyekt, ya’ni tekislikning kiritilishi mavjud, aksiomalar sistemasini kengaytirishga olib keladi. Fazoda nuqta, to‘g‘ri chiziq va tekisliklararo qanday vaziyatda joylashishlari mumkinligi to‘g‘risida o‘quvchilarga bilim berishda quyidagi uchta aksioma muhim o‘rin tutadi.
C1. Tekislik qanday bo’lmasin, shu tekislikka tegishli nuqtalar va unga tegishli bo’lmagan nuqtalar mavjud.
C2. Agar ikkita turli tekislik umumiy nuqtaga ega bo’lsa, ular shu nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq bo’yicha kesishadi.
C3 Agar ikkita turli tekislik umumiy nuqtaga ega bo’lsa, ular orqali bitta va faqat bitta tekislik o’tkazish mumkin. Fazoda geometrik tasvirlashga doir murakkab masalalarni yechishdan (yasashdan) oldin, o’quvchilarning tafakkuri va dunyoqarashini shakllantirish maqsadida ba’zi bir teoremalarning isbotini berish maqsadga muvofiq.
1-teorema: Fazoda to’g’ri chiziq va unda yotmaydigan nuqta orqali bitta va faqat bitta tekislik o’tkazish mumkin.

1. 
   teorema. To’g’ri chiziqning ikkita nuqtasi tekislikka tegishli bo’lsa, u holda to’g’ri chiziqning o’zi ham tekislikka tegishli bo’ladi.
   
2. 
   teopema. Bitta to’g’ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtadan bitta va faqat bitta tekislik o’tkazish mumkin.
   

1-masala. Fazoviy figuralarni tekislikda tasvirlanishi: a) AB to’g’ri chiziqning  tekislik bilan kesishgan nuqtasini yasang. Bu masalani yechishda avvalo yasash jarayonida kerak bo’lgan qalam va chizg’ichni tayyorlaymiz. So’ngra chizmachilik va geometriya darslarida o’tilgan proeksiyalash materiallarini qo’llab, talab qilingan nuqtani yasaymiz.
Berilgan  tekislikni kesib o’tuvchi ixtiyoriy a to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziqqa AB to’g’ri chiziqning ixtiyoriy X nuqtadan parallel to’g’ri chiziq o’tkazamiz. Bu to’g’ri chiziqning  tekislik bilan kesishgan nuqtasini X₁ bilan belgilaymiz. X₁ nuqta X nuqtaning tekislikdagi tasviri bo’ladi. Shu tariqa AB to’g’ri chiziqning har bir nuqtasining tasvirini shu tarzda yasab, AB to’g’ri chiziqning tasvirini, ya’ni proeksiyasini hosil qilamiz. AB to’g’ri chiziq bilan uning A₁B₁ proeksiyasining kesishgan O nuqtasi izlangan nuqta bo’ladi.