7- amaliy mashgulot. Takroriy guruhlash

Isboti:



7.2-Teorema (Binomial teorema). Quyidagi tenglik o‘rinli


bu yerda sonlarga binomial koeffitsiyentlar, tenglamaga esa N’yuton binomi deyiladi.
Isboti: Formulani matematik induktsiya metodidan foydalanib isbotlash mumkin. Haqiqatan ham,
bo`lganda
da
Endi formulani uchun o`rinli deb faraz qilib, quyidagiga ega bo`lamiz:




Yig’indida indekslarni almashtiramiz: u holda

bo’ladi. Bundan

Oxirgi tenglikda yig’indilar chegaralarini tenglashtiramiz. Buning uchun yordamchi tengliklarni kiritamiz, u holda

va

tengliklar hosil bo’ladi.
Bu tengliklarni o’rniga qo’yib, quyidagini hosil qilamiz:

Teorema isbotlandi.
Hozirda N’yuton binomi deb yuritiladigan yuqoridagi formulani Isaak N’yuton(1643-1727 yy)gacha O’rta osiyolik olimlar, yurtdoshlarimiz: matematik, astronom, shoir Umar Xayyom (1048-1122 yy) va Mirzo Ulug’bekning shogirdi G‘iyosiddin Jamshid al-Koshiy “Arifmetika kaliti” asarida yorqin misollarda ko’rsatib bergan. Yevropada esa B. Paskal o`z ishlarida qo`llagan. N’yutonning xizmati shundaki, u formulani daraja ko`psatkichi ning butun bo‘lmagan holi uchun umumlashtirdi.
uchun ning butun bo’lmagan qiymatida N’yuton binomi formulasining ko’rinishi quyidagicha bo’ladi:

Binom yoyilmasi ko’pgina konbinatorika formulalarida asos bo’lib xizmat qiladi, masalan:
1. bo’lganda hosil bo’ladi. Bu son ta elementli to’plamning barcha mumkin bo’lgan tartiblanmagan qism to’plamlari soniga teng.
2. bo’lganda ga teng, ya’ni toq va juft o’rinda turgan binomial koeffitsiyentlar yig’indisi ga va ular o’zaro ham teng bo’ladi.