10. Ikki funksiya yiђindisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatining hosilasi

Funksiyaning hosilasi va uning tadbiqlari.
Funksiya hosilasi.Yuqori tartibli hosila.Differensiallash
qoidalari.


1⁰. Ikki funksiya yiђindisi, ayirmasi, ko’paytmasi va nisbatining hosilasi. Aytaylik, va funksiyalari da berilgan bo’lib, nuqtada va hosilalarga ega bo’lsin. Hosila ta’rifiga ko’ra
(1)
(2)
bo’ladi.
1) funksiya x₀ nuqtada hosilaga ega bo’lib,

bo’ladi.
◄ deb topamiz:
.
Bu tenglikda da limitga o’tib, yuqoridagi (1) va (2) munosabatlarni e’tiborga olsak, unda

bo’lishi kelib chiqadi. Demak,
.►
2) funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,

bo’ladi.
◄ deb

nisbatni quyidagicha

yozib olamiz. So’ng da limitga o’tib topamiz:


Demak,
►
3) funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,

bo’ladi.
◄ Modomiki, ekan, unda nuqtaning biror atrofidagi larda bo’ladi. SHuni e’tiborga olib topamiz:


Bu tenglikda da limitga o’tib, ushbu

tenglikka kelamiz. ►
1-natija. Agar funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lsa, funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,

bo’ladi, ya’ni o’zgarmas sonni hosila ishorasidan tashqariga chiqarish mumkin.
2-natija. Agar funksiyalar nuqtada hosilalarga ega bulib, o’zgarmas sonlar bo’lsa, u holda

bo’ladi.
2⁰. Murakkab funksiyaning hosilasi. Faraz qilaylik, funksiya to’plamda, funksiya to’plamda berilgan bo’lib, nuqtada hosilaga, nuqtada hosilaga ega bo’lsin. U holda murakkab funksiya nuqtada hosilaga ega bo’lib,

bo’ladi.
◄ funksiyaning nuqtada hosilaga ega bo’lganligidan

bo’lishi kelib chiqadi, bunda
va da .
Keyingi tenglikning har ikki tomonini ga bo’lib topamiz:
.
Bundan da limitga o’tib,

tenglikka kelamiz. ►