1. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar

3-MA’RUZA.
Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar. Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar. Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash.
Reja
1. Birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar.
2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.

1. 
   Ajoyib limitlar.
   

Limitlarni hisoblashda quyidagi limitlardan foydalaniladi:
; (9)
(10)
Bu limitlarga mos ravishda birinchi va ikkinchi ajoyib limitlar deyiladi.


Birinchi ajoyib limit.

1-teorema. bo’ladi. Isboti. Radiusi birga teng bo’lgan birlik aylanani ko’raylik . - OAB uchburchakning yuzasi - OAB sektorning yuzasi - OCB uchburchakning yuzasi bo’lsin. U xolda < < bo’ladi. OA=OB=R=1 ekanligini e’tiborga olsak = OB AD= sinx, = OB AB = va = = tgx bo’ladi.

y C A x 0 D B x

Demak sinx= =AD; tgx= =CB.
sinx< < tgx 1< <
cosx< <1 cosx< < 1
=1 .
Misol. = = .


Ikkinchi ajoyib limit.
Ta’rif. (1+ )ⁿ o’zgaruvchi miqdorning n dagi limiti e soni deyiladi, e=2,7182818284...
2-teorema. (1+ )^x funksiyaning x dagi limiti mavjud bo’lib e soniga teng bo’ladi.
(1+ )^x =e (3)
1. x deylik, bu xolda x ning xar qanday qiymati ikki musbat butun sonlar orasida yotadi.
n xn<(1+ )ⁿ<(1+ )ⁿ .
Agar x bo’lsa , n xam n chunki n x ning butun qismi, oxirgi tengsizlikdan limitga o’tsak, ikki chekkadagi limitlar y ga intilgani uchun
(1+ )^x =e
kelib chiqadi.
2. x da t=-(x+1) yoki x=-(t+1) almashtirish bajarsak t da .
(1+ )^x= (1 - )^-t-1 = (1 + )^t=e.
3. (1+ )^x=e ekanligini ham quyidagicha xosil qilamiz:
x= desak t da x , (1+ ) = (1+ )^t=e.

Amaliy mashg’ulotlarda ko’p uchraydigan quyidagi limitlarni xam talabalarning bilishi maqsadga muvofiq bo’lar edi.

(1- )^x=e^–k ; (1+ ) ^x =e ^k ,
=n; =-n,
=lna ; =1,
=log_ae.
2. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar.
1-Ta’rif. Agar y=f(x) funksiyaning limiti da nol bo’lsa ya’ni bo’lsa, u xolda y=f(x) funksiyani da cheksiz kichik funksiya deyiladi.
2-Ta’rif. Agar bo’lsa , y=f(x) funksiyani da cheksiz katta funksiya deyiladi.
Misol. funksiya da cheksiz kichik funksiya chunki
Endi cheksiz kichik funksiyalarning xossalari haqidagi quyidagi teoremalarni isbotsiz keltirib o’taylik
3-Teorema. Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalarning algebraik yig'indisi cheksiz kichik funksiyadir.
4-Teorema. Cheksiz kichik funksiyaning chegaralangan funksiyaga ko’paytmasi cheksiz kichik funksiya bo’ladi.
5-Teorema. Cheksiz kichik funksiyalarning ko’paytmasi cheksiz kichik funksiyadir.
6-Teorema. Cheksiz kichik funksiyaning limiti noldan farqli bo’lgan funksiyaga bo’linmasi cheksiz kichik funksiyadir.
Mustahkamlash uchun savollar.

2. 
   Birinchi ajoyib limit deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Ikkinchi ajoyib limit nimaga teng?
   
4. 
   Cheksiz katta va cheksiz kichik funksiyalar?