ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, } Va nolga teng bo'lgan tabiiy sonlar to'plami boshqa tarzda belgilanadi: ℕ+

Endi A va B to‘plamlar kesishmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning kesishmasi deyiladi (1.2- chizmaga qarang) va AI B shaklda belgilanadi. Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi −IaAa deb Aa to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi. To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra kommutativ va assotsiativdir, ya’ni AUB=BUA (AUB)UC=AU(BUC) AIB=BIA (AIB)IC=AI(BIC) Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan

Endi A va B to‘plamlar kesishmasini ta’riflaymiz. A va B to‘plamlarning umumiy elementlaridan tashkil topgan to‘plam ularning kesishmasi deyiladi (1.2- chizmaga qarang) va AI B shaklda belgilanadi. Ixtiyoriy (chekli yoki cheksiz) sondagi to‘plamlarning kesishmasi −IaAa deb Aa to‘plamlarning barchasiga tegishli bo‘lgan elementlar to’plami tushuniladi. To‘plamlar yig‘indisi va kesishmasi aniqlanishiga ko‘ra kommutativ va assotsiativdir, ya’ni AUB=BUA (AUB)UC=AU(BUC) AIB=BIA (AIB)IC=AI(BIC) Bundan tashqari, ular o‘zaro distributivlik qonunlari bilan bog‘langan

(AUB)IC=(AIC)U(BIC) (1.1 ) (AI B) UC = (AU C) I (B U C) (1.2)

Akslantirishlar. To‘plamlarni sinflarga ajratish Funksiya tushunchasini umumlashtirish. Ma’lumki, matematik analizda funksiya tushunchasi quyidagicha ta’riflanadi: X sonlar o‘qidagi birorto‘plam bo‘lsin. Agar har bir x∈ X songa f qoida bo‘yicha aniq bir y = f (x) son

mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda f funksiya aniqlangan deyiladi. Bunda X to‘plam f funksiyaning aniqlanish sohasi deyiladi, bu funksiya qabul qiladigan barcha qiymatlardan tashkil bo‘lgan E( f ) to‘plam f funksiyaning qiymatlar sohasi deyiladi, ya’ni E( f ) = {y : y = f (x), x ∈ X}.

Agar sonli to‘plamlar o‘rnida ixtiyoriy to‘plamlar qaralsa, u holda funksiya  tushunchasining umumlashmasi, ya’ni akslantirish ta’rifiga kelamiz. Bizga ixtiyoriy X va Y to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Agar har bir x∈ X elementga biror f qoida bo‘yicha Y to‘plamdan yagona y element mos qo‘yilsa, u holda X to‘plamda aniqlangan Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish berilgan deyiladi. Bundan keyin ixtiyoriy tabiatli to‘plamlar bilan ish ko‘ramiz (shu jumladan sonli to‘plamlar bilan ham), shuning uchun ko‘pgina hollarda  funksiya termini o‘rnX to‘plamda aniqlangan va Y to‘plamdan qiymatlar qabul qiluvchi f akslantirish uchun f : X →Y belgilashdan foydalaniladi. Biz asosan quyidagi belgilashlardan foydalanamiz. N− natural sonlar to‘plami, Z− butun sonlar to‘plami, Q− ratsional sonlar to‘plami, R− haqiqiy sonlar to‘plami. R+ = [0,∞), Z+ = {0}U N hamda Rn sifatida n− o‘chamli arifmetik Evklid fazo belgilanadi. Endi f : X →Y akslantirishga misollar keltiramiz. 2.1. f : R → R, f (x) = x 2 . iga akslantirish atamasini ishlatamiz.