Hisoblash usullari



Yüklə 1,26 Mb.
səhifə10/12
tarix15.06.2023
ölçüsü1,26 Mb.
#130725
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12
Hisoblash usullari

2.2. Eyler usuli
Yuqorida ko`rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo`lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko`rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimning aniqlik darajasi haqida fikr yuritish birmuncha murakkab bo`ladi.
Masalan, ketma – ket differensiallash usulini qo`llaganda qatorning juda ko`p hadlarini hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda bu qatorning umumiy hadini aniqlab bo`lmaydi. Pikar algoritmini qo`llaganimizda esa, juda ko`p murakkab integrallarni hisoblashga to`g’ri keladi va ko`p hollarda integral ostidagi funksiyalar elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechishda yechimlarni formula ko`rinishida emas, balki jadval ko`rinishida olish qulay bo`ladi. Differensial tenglamalarni raqamli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko`rinishida olinadi.
2.3. Adams ekstrapolyatsion metodi
Faraz qilaylik, y(x) funktsiyani xn ,xn1,...,xnk nuqtalarda qiymati ma`lum bo’lsin. x = xn + uh almashtirish bajaramiz. U holda (34) quyidagi ko’rinishga keladi [4].

(36) ni (35) ga qo’yamiz va integrallash amalini bajarsak, quyidagi formulaga ega bo’lamiz:
Bu integraldagi u(u +1)...(u + k) ishora saqlaganligi uchun, o’rta qiymat haqidagi teoremaga asosan va y(k+2) (x) ni uzluksizligidan
Rk =hk+2 c(k+1)y(k+2) (ξ)du, xnk ≤ (ξ) ≤ xn+1
kelib chiqadi. Agar Mk+2 = xnmaxkxxn y(k+2) (x) desak va Ck > 0 ni e`tiborga olsak,

Rk = hk+2ck+1M k+2 (39)
bo’ladi. Agar h > 0 yetarlicha kichik bo’lsa Rk = O(hk+2 ) xatolikni e`tiborga olmasak, Adams ekstrapolyatsion metodining hisob formulasiga ega bo’lamiz:
Agar (40) da k = 0 bo’lsa, yn+1 = yn + hf (xn , yn ) - Eyler usuli hosil bo’ladi. Agar k ≥1 bo’lganda yn , yn1,..., ynk larni ma`lum deb (40) dan ketma-ket
yn+1, yn+2,...
lar topiladi.
Bu metodni qiyinchiliksiz birinchi tartibli differentsial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasiga qo’llash mumkin. Buni quyidagi masalada namoyish etamiz:
y′ = f (x, y, z), y(x0 ) = y0,
z′ = ϕ(x, y,z), z(x0) = z0,

2.3. Adams interpolyatsion metodi
(30)-(31) Koshi masalasini echimi xnk+1,...,xn+1 nuqtalarda ma`lum deb faraz qilaylik (vohalanki yn+1 = y(xn+1) noma`lum). Yechimning xn+1 nuqtadagi qiymatini


du deb yozib olib, y′(xn+1 + uh) ni jadval
oxirida interpolyatsiyalash (Nyuton) formulasiga almashtirib, integrallashni bajarsak, quyidagi hisob formulasiga ega bo’lamiz [6]:

bu erda
Ck .
(41) formulaning xatoligi
Rk = hk+2Ck+1y k+2 (ξ), xnk+1 ≤ ξ ≤ xn+1.
Odatda (30)-(31) Koshi masalasini Adams metodi bilan yechishda quyidagicha amal qilinadi.
Jadval boshidagi echimning qiymatlarini, ya`ni xnk ,xnk+1,...,xn nuqtalardagi yechimning qiymatini qanaqa aniqlikda topilsa, shunday aniqlikka ega Adams formulasini tanlash kerak bo’ladi. Bundan tashqari (41) formula emas, u yn+1 ga nisbatan yn+1 = ϕ(yn+1) ko’rinishdagi chiziqsiz tenglamadir. Shuning uchun (40) dan ynэ+1 topilib, uni (41) ning o’ng tomoniga qo’yamiz, ϕ(уnэ+1) = ynu+1 deb belgilaymiz. Agar ynэ+1 va ynu+1 lar berilgan aniqlik miqdorida ustma-ust tushsa yn+1 = ynэ+1 deb hisobni (40) formula bilan davom ettiramiz. Bordi-yu ynэ+1 va ynu+1 yuqorida nazarda tutilgan shartni qanoatlantirmasa, u holda yn+1 = ynu+1 deb jadvalni hozirgina topilgan yo’li qaytadan hisoblanadi va keyingi qadamda ynэ+2 hisoblanib, ynu+2 bilan taqqoslanadi, bordi-yu yana qo’yilgan aniqlik bajarilmasa, unda hisoblashni h2 qadam bilan ynэ+2 = yn+2 deb davom ettiriladi.
Ko’pincha hisoblash jarayonini osonlashtirish uchun (40), (41) formulalarda ishtirok etuvchi chekli ayirmalarni funktsiyaning qiymatlari orqali ifodasiga almashtiriladi va k ning berilgan qiymatiga mos ravishda quyidagi formulalarga ega bo’lamiz:


xn+1 nuqtadagi echimni undan farqli va bittadan ko’p bo’lgan nuqtadagi echimning qiymatlari ishtirokida topilganligi uchun Adams metodlari ko’p qadamli metodlar deb ataladi.

Yüklə 1,26 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©www.azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin