Teorem 2. və , vektorlarının xətti asılı olması onların komplanar olması üçün zəruri və kafi şərtdir.
Vektorların bazis üzrə ayrılışı. Əgər vektoru , ... , vektorlarının xətti kombinasiyadırsa , yəni
= λ1 + ... + λn (1)
olduqda , həmdə deyilir ki , vektoru , ... , vektorları üzrə ayrılmışdır.
Xüsusi halda
= λ1 + λ2 (2) = λ1 + λ2 + λ3 (3) ola bilər. ► Tərif. Müstəvi üzərində yerləşən , koleniar olmayan və müəyyən ardıcıllıqla götürülən , vektorlarına həmin müstəvidə bazis deyilir.
Teorem 1. Müstəvi üzərində yerləşən, hər bir vektorunu bu müstəvi üzərində , bazisi üzrə
= λ1 + λ2 (4) ayrılışını yazmaq olar və bu ayrılış yeganədir.
İsbatı. , vektorları koleniar olmadığından onların heç biri sıfır deyil. , və
vektorlarının başlanğıcını bir “ 0 ” nöqtəsinə köçürək;
vektorların toplama qaydasına görə
alarıq. Yəni (4) ifadəsini alarıq. Bunun üçün əksini fərz edək, yəni fərz edək ki,
başqa bir
= 1 + 2 (5)
ayrılışı da var. (4) və (5) –in fərqinə baxaq, onda
( 1 - λ1 ) + ( 2 – λ2 ) = 0 (6)
olar.
Koordinatları ilə verilmiş
= ax + ay + az
Vektorunun modulunu (uzunluğunu) hesablamaq. Bu məqsədlə vektorunun baəlanğıcını koordinat başlanğıcına köçürmək və onun koordinat oxları üzərində ax = OP, ay = OQ, az = OR proyeksiyalarını tapaq. OP, OQ, OR parçaları üzərində düzbucaqlı paralelepiped qursaq, onun diqaonalı OM = olar.
Buradan:
2 = və ya
= (1)
► Tutaq ki, vektorunun koordinat oxlarının müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdiyi bucaqlar – dır. Bu bucaqlar vektorunun yönəldici bucaqları deyilir. vektorunun koordinat oxları üzərindəki ax , ayvə az proyeksiyalarını aşağıdakı kimi tapmaq olar:
ax= , ay = , az = kimi tapmaq olar.
Buradan:
= , , = (2)
və ya
= ,
= , (3)
= .
(2) bərabərliklərini kvadrata juksəldib tərəf-tərəfə toplasaq və (1) bərabərliyini nəzərə alsaq:
cos2 + cos2 + cos2 = 1 (4)
, və kəmiyyətlərinə vektorunun yönədici kosinusları deyilir. vektoru vahid vektor olarsa, onda
ax = , ay = , az = , yəni vahid vektorun yönəldici kosinusları onun uyğun koordinatlarıdır.