Determinantlar nazariyasi

O’rin almashtirish va oʻrinlashtirish.

Endi biz n-tartibli determinant yoki n-tartibli kvadrat matritsaning determinanti tushunchasini kiritamiz. Bu uchun avval quyidagi yordamchi faktlarni kiritamiz.

tartibli oʻrin almashtirish tushunchasini kiritamiz. sonlarning biror bir tartibda yozilishi tartibli oʻrin almashtirish deb ataladi.


3-misol. toʻplam uchun barcha oʻrin almashtirishlarni yozing.
►

◄
Umuman olganda har qanday ta elementdan tuzilgan toʻplamda oʻrin almashtirish tushunchasini kiritish mumkin. Bu jarayonni toʻplam elementlarini 1 dan boshlab ketma-ket natural sonlar bilan nomerlaymiz va sonlar ustida oʻrin almashtirishga keltiramiz. Ya’ni, sonlar ustida oʻrin almashtirish tushunchasini qarash umumiylikni buzmaydi.
3-ta’rif. Agar boʻlib, soni dan chaproqda joylashgan boʻlsa, u holda oʻrin almashtirishda va sonlar inversiyani tashkil qiladi deyiladi.


4-ta’rif. oʻrin almashtirishdagi barcha elementlar tashkil etgan umumiy inversiyalar soni oʻrin almashtirishning inversiyalar soni, deb ataladi va kabi belgilanadi.
sonning juft yoki toq boʻlishiga qarab, mos ravishda, oʻrin almashtirish juft yoki toq deb ataladi.
Masalan, oʻrin almashtirishda 1 va 4 sonlari inversiya tashkil qilmaydi. 3 soniga mos inversiyalar 1 ta, 2 soniga mos inversiyalar 2 ta. Demak, . oʻrin almashtirish toq.
Oʻrin almashtirish quyidagi xossalarga ega:

1. toʻplamdagi barcha oʻrin almashtirishlar soni ga teng;

2. Juft va toq oʻrin almashtirishlar soni oʻzaro teng, ya’ni har biri tadan;
3. Oʻrin almashtirishda ikkita elementning oʻrni almashtirilsa uning juft-toqligi oʻzgaradi.
5-ta’rif. sonlar toʻplamini oʻziga akslantiruvchi, oʻzaro bir qiymatli akslantirish oʻrinlashtirish deb ataladi.
Oʻrinlashtirishni ikkita oʻrin almashtirish bilan berishimiz mumkin. Ikkita va tartibli oʻrin almashtirishlardan tuzilgan oʻrinlashtirish quyidagicha belgilanadi:
Masalan, va oʻrinlashtirishlar oʻzaro teng. Chunki bu oʻrinlashtirishlarning har biri 1 ga 2 ni, 2 ga 3 ni va 3 ga 1 ni mos qoʻyadi.
Shu sababli oʻrinlashtirishni har doim koʻrinishga keltirish mumkin. Bunda biror tartibli oʻrin almashtirish. almashtirish juft boʻlsa, o‘rinlashtirish juft, toq boʻlsa, ham toq deyiladi. miqdorga oʻrinlashtirishning signaturasi deyiladi. Demak aniqlanishiga koʻra

4-misol. Quyidagi orinlashtirishning signaturasini toping.

►4 soni soni 3, 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 3 ta inversiya tashkil qiladi, 3 soni soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil qiladi, 1, 2 va 5 sonlari inversiya tashkil qilmaydi. Demak boʻladi. Bundan .◄
5-misol. Quyidagi orinlashtirishning signaturasini toping.

►Birinchi qatorda sonlarni oʻsish tartibida joylashtirib chiqamiz, ya’ni ustunlarning orinlarini almashtiramiz:

U holda 3 soni soni 1 va 2 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil qiladi, 2 soni soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya tashkil qiladi, 5 soni soni 1 va 4 sonidan chapda joylashganligi sababli 2 ta inversiya tashkil qiladi, 4 soni soni 1 sonidan chapda joylashganligi sababli 1 ta inversiya tashkil qiladi, 1 soni inversiya tashkil qilmaydi. Demak boʻladi. Bundan .◄
tartibli barcha oʻrinlashtirishlar toʻplamini bilan belgilaymiz.

4.