ko`rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi. Bu yerda o`zgarmas sonlar darajali qatorning koeffitsientlari deyiladi.
Xususiy holda, ushbu darajali qatorga ega bo`lamiz:
A b e l t e o r e m a s i. a) Agar
darajali qator birorta nuqtada yaqinlashsa, u holda u ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi har qanday qiymatida absolyut yaqinlashadi;
agar
darajali qator birorta qiymatda uzoqlashsa, u holda u ning shartni qanoatlantiruvchi istalgan qiymatlarida uzoqlashadi.
darajali qator uchun shunday oraliq mavjudki, u mazkur oraliq ichida absolyut yaqinlashib, undan tashqarida esa uzoqlashadi; bu oraliq qatorning yaqinlashish oralig`i deyiladi. soni yaqinlashish radiusi deyiladi, u xususiy hollarda 0 yoki ga teng bo`lishi ham mumkin. Yaqinlashish oralig`ining chetki nuqtalari da darajali qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi masalasi alohida hal qilinadi.
9.5.2. Agar qatorning barcha koeffitsientlari nolga teng bo`lmasa,
darajali qatorning yaqinlashish radiusi ushbu formula orqali aniqlanadi:
yoki
Agar qator faqat juft yoki toq darajalarni o`z ichiga olsa yoki darajalari karrali bo`lsa, va h.k., u holda yaqinlashish oralig`I bevosita Dalamber yoki Koshi alomatlaridan foydalanib topiladi.
qator uchun yaqinlashish radiusi quyidagicha topiladi:
yoki
1 – m i s o l. Quyidagi qatorning yaqinlashishini tekshiring:
Е ч и ш. Бу ерда қаторларнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R= Д
емак, берилган даражали қатор (-1,1) оралиқда абсолют яқинлашади, (-∞;-1) (1,+∞) да эса узоқлашади. Берилган қаторнинг бу оралиқнинг чекка нуқталарида яқинлашувчи ёки узоқлашувчи эканлигини аниқлаймиз. х = 1 бўлганда берилган қаторкўринишидаги гармоник узоқлашувчи қатор бўлади.
х =-1 да эса қаторни хосил қиламиз, бу қaтор яқинлашади, чунки у Лейбниц аломати шартларини қаноатлантиради.
Шундай қилиб, берилган даражали қаторнинг яқинлашиш сохаси .
2 – м и с о л. Ушбу
қаторнинг яқинлашишини текширинг.
Е ч и ш. шунинг учун яқинлашиш радиусини
R= формуладан топамиз. Демак, берилган қаторнинг яқинлашиш оралиғи ( -, )бўлади. Қаторнинг яқинлашишни оралиқнинг чекка нуқталарида текширамиз. Агар х = бўлса, қатор 1+1+1+... кўринишга эга бўлиб, бу қатор ўзоқлашади. Агар х= - бўлса, қатор 1-1+1-... кўринишида бўлиб, у ҳам узоқлашади.
Шундай қилиб, берилган қаторнинг яқинлашиш сохаси ( -, ).
3 – м и с о л. Қуйидаги
қаторнинг яқинлашиш соҳасини топинг.
Е ч и ш. .
Қаторнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R= Демак, берилган қатор бутун сон ўқида яқинлашади.
9.5.3.Агар умумий кўринишдаги
қатор берилган бўлса, унинг яқинлашиш радиуси R олдингиформулалар билан аниқланаверади, яқинлашиш оралиғи эса маркази нуқтада бўлган оралиқ бўлади.
4 – м и с о л. Ушбу
қаторнинг яқинлашиш сохасини топинг.
Е ч и ш. Қаторнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R=
Демак, қатор (0;4) оралиқда абсолют яқинлашади.
х
=0 дақаторни хосил қиламиз, у узоқлашади, чунки унинг хадлари узоқлашувчи гармоник қаторнинг хадларидан катта .
х =4 да қаторни хосил қиламиз, у Лейбниц аломатига кўра яқинлашади.
Шундай қилиб берилган қаторнинг яқинлашиш сохаси (0;4].
9.5.4. Даражали қаторларнинг хоссалари:
а) яқинлашиш оралиғининг ичида ётувчи ҳар қандай [a, b] кесмада даражали қатор текис яқинлашади. Унинг йиғиндиси яқинлашиш оралиғида узлуксиз функция бўлади;
б) даражали қаторни уларнинг яқинлашиш оралиғида хадма-хад интеграллаш ва дифференциаллаш мумкин.
5 – м и с ол. Ушбу
қаторнинг йиғиндисини топинг.
Е ч и ш. Қаторнинг яқинлашиш радиусини топамиз:
R= Демак, (-1.1) оралиқда қатор яқинлашади, шунинг учун уни яқинлашиш
оралиғида ҳадма-ҳад дифференциаллаш мумкин. Берилган қаторнинг йиғиндисини S(x)орқали белгиласак,
S'(x)=1+x2+x4+…+x2n-2+… Хосил қилинган қатор - геометрик прогрессия ҳадлари йиғиндиси ва у ( -1, 1 ) оралиқда яқинлашади, унинг йиғиндиси:
S'(x)= Хосилалардан тузилган қаторни интеграллаб, берилган қаторнинг йиғиндисини топамиз: