3. Unitar almashtirishning xos sonlari moduli nimaga teng?
4. vektor unitar chiziqli almashtirishning xos vektori bo‘lsin. to‘plam almashtirishga nisbatan o‘lchamli invariant qism fazo tashkil qilishini ko’rsating.
5. o‘lchamli Yevklid fazosidagi unitar chiziqli almashtirish ta juft-jufti bilan ortogonal bo‘lgan xos vektorlarga ega bo’lishini isbotlang.
6. Berilgan А ortogonal matritsaning shartni qanoatlantiruvchi В ni kanonik ko’rinishini va С orthogonal matritsalarini toping.
Yechish. Ushbu tenglamani qaraymiz:
Bundan quyidagi tenglamani olamiz:
(λ–1)(λ2–λ+1) = 0
Bu tenglamani uchta λ1 = 1 va ildizlarini hosil qilamiz. Bu sonlar А matritsaning xos sonlarini tashkil etadi.
Bizga ma’lumki, Yevklid fazosida berilgan ixtiyoriy orthogonal chiziqli almashtirish uchun shunday ortonormal bazis mavjudki, bu bazisda chiziqli chiziqli almashtirishni quyidagicha yozish mumkin:
Endi ortonormal bazisni topamiz. Buning uchun e1, e2, e3bazisni ortonormal f1, f2, f3 bazisga o’tkazuvchi С matritsani topamiz.
λ1 = 1 xos son uchun bir jinsli tenglamalar sistemasini yechib xos vektorni topamiz. Bendan ni hosil qilamiz. Huddi shunday А matritsaning λ2 va λ3 xos sonlariga mos ravishda va vektorlarini topamiz.
Demak
Bulardan tenglik bajarilishini oson tekshirish mumkin.
Berilgan А matritsaga shartni qanoatlantiruvchi В diagonal va С unitar matritsalarni toping.
