O`zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta`lim vazirligi buxoro davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

1.3-. Egri chiziq bilan chegaralangan sohaning yuzi egri chiziqli integral orqali ifodalash.


1.3.1-rasm
Oxy tekislikda L kontur bilan chegaralangan shunday D soha berilgan bo’lsinki, bu sohaning ichki nuqtasi orqali koordinata o’laridan birortasiga parallel holda o’tuvchi ixtiyoriy to’g’ri chiziq sohaning L chegarasini ko’p deganda ikki nuqtada kessin (ya’ni D to’g’ri soha bo’lsin) (1.3.1-rasm).
D soha Ox o’qidagi [a, b] kesma proeksiyalanadi, bunda soha pastdan



() egri chiziq bilan chegaralanadi, yuqoridan esa





() egri chiziq bilan chegaralanadi, deb faraz qilamiz. U holda D sohaning yuzi:

Biroq tenglama egri chiziqning tenglamasi bo’lgandan, birinchi integral shu egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integraldir; demak,

Ikkinchi integral esa egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integral, ya’ni:



Egri chiziqli integralning 1- xossasiga asosan:



Demak,


Bu holda L egri chiziq soat strelkasi yo’nalishiga teskari yo’nalishda aylanib chiqiladi.



1.3. 2-rasm
Agar L chegaraning bir qismi Oy o’qqa parallel bo’lgan M₁M kesmadan iborat bo’lsa, u holda


bo’ladi va (5) tenglik bu shartda ham o’z kuchini saqlaydi (1.3.2-rasm).
Shunga o’xshash


ekanligini ham ko’rsatish mumkin.

(1.3.5) va (1.3.6) tengliklarni hadlab qo’shib va 2 ga bo’lib, S yuzni hisoblash uchun yana bitta:

formulani hosil qilamiz.
3-misol. elipsning yuzi hisoblansin.
Yechish. (1.3.7) formula bo’yicha quydagini hosil qilamiz:



(1.3.7) formula, shuningdek, (1.3.5) va (1.3.6) formulalar ham chegarasi koordinata chiziqlari bilan ikkitadan ortiq nuqtada kesishadigan yuzalar uchun ham o’rinli ekanligini ko’ramiz (1.3.3-rasm).



1.3. 3-rasm

Buni isbot qilish uchun berilgan sohani (1.3.3-rasm) chiziq yordami bilan ikkita to’g’ri sohaga ajratamiz. Ularning har biri uchun (1.3.7) formula o’rinlidir. So’ngra hosil qilingan chap va o’ng qismlarini qo’shib, chapda berilgan sohaning yuzini, o’ngda-butun chegara bo’yicha olingan ( koefitsentli) egri chiziqli integralni hosil qilamiz, egri chiziqliintegral bo’luvchi chiziq bo’yicha ikki marta-to’g’ri va teskari yo’nalishda olingani uchun u nolga teng.

1.