Nazariy mexanika (2). pdf

(5)

Bu yerdagi F funksiya almashtirishning hosilaviy funksiyasi deyiladi. (5) ni quyidagicha yozamiz

(6)

Bundan biz ^F funksiyani ^{F = F (q, Q, t )} deb topamiz:

(7)

F funksiyaning berilgan qiymatida (7) formulalar yeski ^{(p, q)} va yangi ^{(P, Q)}
o’zgaruvchilar o’rtasida, shuningdek Gamilton funksiyalari o’rtasida bog’lanishni ifodalaydi.
Ayrim hollarda hosilaviy funksiyani o’zgaruvchilarda ifodalash qulay
bo’lishi mumkin. Buning uchun (6) _∑ ^P_i ^dQ_i hadni boshqacha qilib yozamiz:
_∑ P_i dQ_i = d _∑ P_iQ_i − _∑Q_idP_i
va (6) ni qayta yozamiz:

Yangi
d (F + _∑ P_i Q_i ) = _∑ p_i dq_i + _∑Q_i dP_i + (H '−H )dt
Ф(q, p,t) = F + _∑ P_i Q_i

hosilaviy funksiya kiritib,
P_i
= ∂Φ _,
∂q_i
Q = ^∂Φ ,

i
∂p_i
H ' = H + ^∂Φ
∂t

kabi kanonik almashtirishlarni olamiz. Shu yo’l bilan har xil hosilaviy funksiyalar kiritish yordamida yangidan yangi kanonik almashtirishlar olish mumkin.
Kanonik almashtirishlarga misol tariqasida garmonik ossillyatorni qaraymiz.
Ossillyator uchun ^{(m = 1)}

x^˙2 −ω² x²
L = ,
2
q = x,
_{p =} ∂L
∂x^˙
= x^˙,
p ² +ω²q ²
H =
2

Yangi impuls va koordinata kiritaylik:
P ≡ iA^* = i ^{p + iωq} ;
_{Q = A =} p − iωq


(8)

^{P, Q} dan tashkil topgan Puasson qavsini hisoblaylik:

(P,Q) = i( A^*, A) = ^{∂P ∂Q} − ^{∂P ∂Q} =

= (i

∂p ∂q
_{– i} iω 1
∂q ∂p
) =

2ω 2ω

–
_{= i(} − iω iω _{) = −i} − 2iω_{= 1}

2ω _2ω
Demak,
2ω
(A^* , A) = −i,


(P, Q) = (P, A) = 1

bajariladi va (8) almashtirishlar kanonik almashtirishlar bo’ladi. yangi o’zgaruvchilarda

PA = i
p + iωq
p − iωq _{= i}
p ² +ω² q²


2ω

ω

H
₌ i p ² +ω² q ² ₌ i
ω 2


Bundan

=
ω

H PA = −iωPA = −iω(iA^*
, A) = ωA^* A

i

Harakat tenglamalari


A^* , A

lar uchun quyidagicha yoziladi:

dA^* _*
^ ∂A^*∂H
∂A^*
∂H ^

= ( A
dt
, H ) = ^

∂P∂Q
^– ∂Q
∂P ^{ =}


= ^{ 1}ωA^ = −ωA

i
 
 
Bu tenglamalar yechimi


dA ^ ∂A ∂H ∂A ∂H ^ ωA


_dt = ( A, H ) =  _{∂P ∂Q} − _∂Q
∂P ^{ = −} i
= iωA

hisoblanadi.
^{A = aeiωt} ,
_A* _{= a}*_e−iωt
(9)

Gamilton funksiyasi vaqtga oshkor bog’liq bo’lmagani uchun bo’ladi va energiya saqlanuvchan bo’ladi.
∂H _{= 0}
∂t

p² + ω² q²
H =

2

= −ωA^*
A = ωa^*a

(9) yechimda
a, a^*
larni
A, A^*
lar orqali ifodalash ham mumkin:

U holda

a^* , a
^{a = e−iωt A} , ^a*
lar uchun Puasson qavsi
_{= e}−iωt _A*

(a^*, a) = e^iωt e^−iωt ( A^*, A) = −i

Ya’ni
(a^*, a)
ning qiymati
( A, A^* )
ning qiymati kabi bo’ladi. Lekin
a^* , a

larning vaqt bo’yicha o’zgarishi Haqiqatan
A, A^*
larning o’zgarishidan farq qiladi.

^da = ^∂a ≠ (aH ) = −iωa + ^{∂a ∂H}
_– ∂a ∂H ₌

dt ∂t
∂P ∂Q
∂Q ∂P

= −iωa + (0 − e^{−iωt ωA}) = −iωa + iωa = 0
i


Nazorat savollari

1. 
   Kanonik almashtirishda Gamilton tenglamasini yozing (umumlashgan koordinata, Lagranj tenglamasi, Gamilton tenglamasi, almashtirish, yangi o’zgaruvchilar).
   
2. 
   O’zgaruvchi funksiyaga almashtirish ifodasini ko’rsating. (hosilaviy funksiya, kanonik almashtirish, garmonik almashtirish, garmonik ossillyator)
   
3. 
   Yangi kanonik almashtirish formulasini yozing. (yangi kanonik almashtirish Gamilton funksiyasi, Puasson qavsi)