Kolleci ehtimal nəZƏRİYYƏSİ VƏ

Asılı olmayan hadisələr

1. 
   Asılı olmayan hadisələr
   
2. 
   Bir neçə hadisənin asılı olmaması
   

Asılı olmayan hadisələr
Hadisələrin asılı olmaması ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarından biridir. A və B hadisələri üçün

P(AB)=P(A) ∙ P(B) (1)

bərabərliyi ödənildikdə onlara asılı olmayan hadisələr deyilir. (1) bərabərliyini əvvəlki paraqrafda alınmış

P(AB)=P(B)∙P(A/B) (2)

və P(AB)=P(A)∙P(B/A) (3)

bərabərlikləri ilə müqayisə etsək, onda P(B)≠0 və P(A) ≠0 olduqda, uyğun olaraq

P(A/B)=P(A) (4)

və P(B/A)=P(B) (5)

bərabərlikləri alınar.

P(B)>0 olduqda (4) bərabərliyindən (1) alınır. Deməli, P(B)>0 olduqda A və B hadisələrinin asılı olması üçün (4) bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir. P(A)>0 olduqda isə A və B hadisələrinin asılı olmaması üçün (5) bərabərliyinin ödənilməsi zəruri və kafi şərtdir. (4) və (5) bərabərliklərinin hər hansı birinin doğruluğundan o birinin doğruluğu çıxır. Doğrudan da, tutaq ki,

2. 
   bərabərliyi doğrudur. Onda
   

P(A)∙P(B/A)=P(B)∙P(A/B)

bərabərliyindən (5) alınar. Buradan aydın olur ki, asılı A və B hadisələri üçün P(A/B)≠P(A)

P(B/A)≠P(B)

olar. Uyuşmayan A və B hadisələri asılı hadisələrdir. Doğrudan da, bu halda A və B hadisələrinin birinin baş verməsi digərinin baş verməməsi deməkdir. Yəni,

P(A/B)=P(B/A)=0

bərabərlikləri ödənilir. Qeyd edək ki, A və B hadisələri asılı olmadıqda A və B^̅, A^̅ və B, A^̅ və B^̅ hadisələri də asılı olmur. A və B hadisələri asılı olmadıqda onların cəminin ehtimalını

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

düsturu ilə hesablamaq olar.

Istənilən sonlu sayda A₁, A₂, … , A_n hadisələrinin asılı olmamasından da danışmaq olar. Verilmiş A₁, A₂, … , A_n hadisələrinin ixtiyari biri yerdə qalan hadisələrin hər birindən və onların mümkün ola bilən istənilən hasilindən asılı olmadıqda, onlara qarşılıqlı asılı olmayan və ya sadəcə olaraq asılı olmayan hadisələr deyilir. Asılı olmayan hadisələr cüt-cüt asılı olmayandır, lakin bunun tərsi doğru deyildir.

Tutaq ki, A₁, A₂, … , A_n hadisələri asılı olmayandır. Onda tərifə görə

P⁽A₂/A₁⁾ = P⁽A₂⁾, P⁽A₃/A₁A₂⁾ = P⁽A₃⁾,

..............................

P⁽A_n−1/A₁ … A_n−2⁾ = P⁽A_n−1⁾, P⁽A_n/A₁ … A_n−1⁾ = P⁽A_n⁾

münasibətləri ödənilir. Bu halda

P⁽A₁, A₂, … , A_n⁾ = P⁽A₁⁾P⁽A₂/A₁⁾ … P⁽A₁A₂ … A_n−1⁾

bərabərliyi

kimi yazılır.

P⁽A₁, A₂, … , A_n⁾ = P⁽A₁⁾P⁽A₂⁾ … P⁽A_n⁾ (6)

^{Məsələ 1. Metal pul iki dəfə atılır.} A ^{ilə qerb üzünün birinci,} B ^{ilə ikinci dəfə düçməsi hadisəsini işarə edək.} A ^və B ^{hadisələrinin asılı olmadıqlarını} göstərin. Həlli. Metal pul iki dəfə atıldıqda elementar hadisələr fəzası

  GG,GR, RG, RRolar.Onda A  GG,GR; B  GG, RG; AB  GG

PA  ²  ¹ ; PB  ²  ¹ ; PAB  ¹

Deməli,

PAB  PAPB

^{.Beləliklə,} A ^və B

4 2 4 2 4

asılı olmayan hadisələrdir.

^{Məsələ 2. Bir zər atılmışdr.Aşağıdakı hadisələrə baxaq: a)} A ^{-düşən xalın üçə bölünməsi; b) düşən xalın cüt ədəd olması.} A ^və B ^{hadisələrinin asılı} olmadıqlarını göstərin.

Həlli. Məsələnin şərtinə əsasən A  ^₃ ,₆ ^ ^3,6^; B  ^₂ ,₄ ,₆ ^ ^2,4,6^;

AB  ₆  6

1

PB  ³  ¹ ; PAB  ¹ Şərti ehtimalın düsturuna görə

P^A / B^  ^PAB  ⁶  ¹

6 2 6

^{PB 1} 3

2

P^A^  ²  ^{1 . Deməli, PA / B  PA.Bu isə} A ^və B ^{hadisələrinin asılı}

6 3

olmadıqlarını göstərir.

Məsələ 3. Müstəviyə birinci üzü qırmızı, ikinci üzü yaşıl, üçüncü üzü mavi və dördüncü üzü hər üc rənglə rənglənmiş tetraedr atılır. Tetraedrin müstəviyə atılışında qırmızı üzünün düşməsi hadisəsini Q ilə, yaşıl üzünün düşməsini Y ilə və mavi üzünün düşməsini M ilə işarə edək.

Hər bir üz iki rənglə rəgləndiyi üçün

^{PQ  PY   PM }= ²  ¹

4 2

olar.
PQY   PQM   PYM   ¹

4

Beləliklə, Q,Y və M hadisələri cüt-cüt asılı olmayan hadisələrdir. Ancaq bu hadisələr qarşılıqlı asılı hadisələrdir.

Belə ki,

PQYM   ¹  PQPY PM   ¹

4 8

Bir neçə hadisənin asılı olmamsı

A₁, A₂ ,..., A_n hadisələrindən istənilən ikisi asılı olmadıqda onlara cüt-cüt asılı

olmayan hadisələr deyilir.

PA A  PA PA ,i 

j;i, j  1,2,..., n

i j i j

A₁, A₂ ,..., A_n hadisələri üçün

1  i  j  k  ... n

indekslərinin bütün mümkün

kombinasiyaları üçün 2ⁿ  n 1sayda

i₁
PA

i

i
A ... A

2 k

 PA

PA

...PA

^, 1  i

 i₂

 ...i_k , k  2,3,..., n , yəni

i₁

i₂

i_k

1
PA A  PA PA ,i 

j;i, j  1,2,..., n

i j i j

PA A  PA PA ;

i j i j

PA A A  PA PA PA 

i j k i j k

........ ........ ........ ........ .........

PA₁ A₂...A_n   PA₁ PA₂ ...PA_k 

bərabərlikləri ödənildikdə qarşılıqlı ( birgə) asılı olmayan hadisələr adlanır.

Qeyd edək ki, cüt-cüt asılı olmayan hadisələr qarşılıqlı asılı ola bilər. Bu mənada hadisələrin qarşılıqlı asılı olmaması anlayşı cüt-cüt asılı olmamaq

anlayışından daha güclüdür.Məsələn,

hadisələr fəzasında

  ₁,₂ ,₃,₄

eyniehtimallı elementar

A  ₁ ,₂ , B  ₁ ,₃ , C  ₁ ,₄ 

hadisələri buna misal ola bilər.Doğrudan da,

PA  PB  PC  ¹

2

PAB  PAC  PBC  ¹

4

bərabərlikləri A, B və C hadisələrinin cüt-cüt asılı olmadığını,

PABC  P   ¹  ¹  PAPBPC



¹ 4 8

bərabərliyi isə onların qarşılıqlı asılı olduğunu göstərir.

Hadisələrin asılı olmaması haqqında aşağıdakı təklifləri söyləmək olar:

1) n sayda hadisələrin asılı olmaması, bu hadisələrdən istənilən saydasını onların tamamlayıcı hadisələri ilə əvəz etdikdə dəyişmir.

2) A₁ ,..., A_n

asılı olmayan hadisələr olarsa, onlardan götürülən ixtiyari r r  n

sayda

A_i ,..., A_i

hadisələri də asılı olmayacaqdır.

1

r
3) Asılı olmayan

A₁ ,..., A_n

hadisələrindən heç olmasa birinin baş vermə ehtimalı

 ⁿ 

P_ A_i   1 1 PA₁ ...1 PA_n 

 1 

kimi hesablanılır.

Ardıcıl təkrar sınaqlar

1. 
   Bernulli düsturu və Bernulli teoremi.
   
2. 
   Binomial paylanma üçün asimptotik düsturlar.
   
3. 
   Muavr - Lapalasın inteqral teoreminin tətbiqləri
   

Bernulli düsturu və Bernulli teoremi
Tutaq ki, müəyyən şərtlər kompleksi daxilində ardıcıl sınaqlar aparılır.Əgər hər bir sınağın nəticəsi digər sınağın nəticəsinə təsir etmirsə, onda belə sınaqlara asılı olmayan sınaqlar deyilir. Aparılan asılı olmayan hər sınağın nəticəsi “uğurlu” və ya “uğursuz” ola bilər, yəni gözlənilən təsadüfiü A hadisəsi baş verə, yaxud baş verməyə bilər.Asılı olmayan sınağın iki nəticəsindən birinin baş verməsi halına Y.Bernulli baxmışdır və onu Bernulli sxemi adlandırırlar. Tərif. Eyni bir sınağın təkrarından ibarət sınaqlar aşağıdakı iki şərti ödədikdə, Bernulli sınaqları adlanır:

1. 
   sınaqlar asılı olmayandırlar;
   
2. 
   hər bir sınağın yalnız iki nəticəsi vardır və bu nəticələrin ehtimalı bütün sınaqlar üçün eynidir;
   
3. 
   Bernulli sınağının nəticələrindən birini şərti olaraq “+”, digərini isə “-“adlandıraq.
   

Tutaq ki, n sayda asılı olmayan sınaq aparılır və hər bir sınaqda A hadisəsinin baş verməsi ehtimalı sabit p ədədinə, baş verməməsi ehtimalı isə

q=1-p ədədinə bərabərdir.i-ci sınağın nəticəsini

B_i , i  1,2,..., n

ilə işarə edək.Bu

ardıcıllığın m hissəsində A hadisəsi, qalan n-m hissəsində isə A olarsa, belə

C

n
ardcıllıqların sayı ^m olar. Sınaqlar asılı olmadıqlarından onların nəticələri –
hadisələr də asılı deyillər və ehtimalların vurulması qaydasına görə belə

ardıcıllığın ehtimalı p^mq^nm ədədinə bərabər olar.Onda uyuşmayan (birgə
olmayan) hadisələrin ehtimalları haqqında qaydaya görə m-qədər A-dan və n-

m qədər A -dən ibarət ardıcıllıqların ehtimalları cəmi

p m  C^m p^mq^nm

olar.

n

n
Aparılan n Bernulli sınağında “+” nəticənin baş vermə sayını edək.Beləliklə aşağıdakı nəticəyə gəlirik:

s_n ilə işarə

Bernulli düsturu. Tutaq ki, aparılan n Bernulli sınağında müsbət
nəticənin başvermə sayı s_n -dir. Hər sınaqda müsbət nəticənin baş vermə
ehtimalı isə p- dir.Bu halda

p_n m 

Ps_n

 m  C^m p^mq^nm q  1  p, m  0,1,2,..., n

n
p_n m

ehtimallarına binomial paylanma deyilir.Bu paylanma m=0,1,..., n

n
ədədləri ilə p ^m^-lər arasında uyğunluq şəklində verilir. (1) ehtimalı  px  qⁿ
binomunun ayrılışında x^k -nın əmsalına bərabər olduğuna görə, ona binomial

ehtimal deyilirlər.Binomial ehtimalların çoxluğu binomial paylanma, n və p sabitləri isə onun parametrləri adlanır.

Məsələ 1.Hər 100 yeni doğulan uşaqdan orta hesabla 51-i oğlan, 49-u isə qız olur.Bir ailədə 3 uşaq var.Onlardan heç olmasa ikisinin oğlan olma ehtimalını tapın.

Həlli. Bu məsələdə, n=3, p=0.51, q=0.49 – dur.Bernulli düsturuna əsasən

axtarılan ehtimal

PS  2  p 2 p 3  3p²q  p³  30.51² 0.49 0.51³  0.515

n 3 3
olacaqdır.Deməli, 3 uşaqlı 100 ailədən orta hesabla 515-də heç olmasa iki oğlan olacaqdır.

Binomial paylanmanın xassələri:

1) ^p_n ^m  0,


_ p_n m  1

m0

Bu münasibətin doğruluğunu iki mülahizədən almaq olar.Birincisi, n ardıcıl asılı olmayan sınaqlar zamanı hadisələr ardıcıllıqları tam sistem təşkil

edir və onlardan hər hansının baş verməsi yəqin hadisədir.İkincisi, axırıncı münasibətin doğruluğu

n n


n
1ⁿ  p  qⁿ  _C^m p^mq^nm  _ pm

m0
binomunun açılışından alınır.

m0

2) p_n m ehtimalı m-dən asılı funksiya kimi özünün ən büyük qiymətini (n+1)p
ədədi kəsr olduqda (n+1)p ədədinin tam qiymətində, tam ədəd olduqda isə m=(n+1)p və m=(n+1)p-1 qiymətlərində alır.

Tərif.

p_n ^m^ ehtimal özünün ən böyük qiymətini m  m₀

qiymətində alarsa,

onda m₀

ədədi binomial paylanmanın modası,

p_n m₀ 

isə maksimal ehtimal

adlanır.

Məsələ 2 . 729 tələbəsi olan fakultədə nə qədər tələbənin yanvarın birində anadan olması ehtimalı ən böyükdür.

Həlli. (702; 1/365) parametrli binomial paylanmadan istifadə edə bilərik. (n+1)p=(729+1)*1/365=2

olduğuna görə, ən böyük ehtimallı ədəd 2 və 1, maksimal ehtimal isə

   

₂  ¹

2  ³⁶⁴ 727

^p729 ²

 p₇₂₉ 1

^{ C729}  ₃₆₅ 

^ 365 ^

olacaqdır.

   

4)n sayda Bernulli sınaqlarında müsbət nəticənin r-dən az syda baş

verməsiehtimalını


B_n r   _ p_n m kimi hesablamaq olar.

m0

Binomial paylanma üçün asimptotik düsturlar

Ehtimal nəzəriyyəsində

p_n ^m^ ehtimalı üçün müxtəlif asimptotik düsturlar

verilmişdir.Burada Puasson və Muavr-Laplas düsturları ilə tanış olacayıq.

Puasson teormi.

n  , np    C^k p^k

_qnk

 _k

k!

_e

Bu münasibət hər bir k-

n
ya görə müntəzəm ödənilir. İsbatı. Bu münasibət aşağıdakı bərabərliklərdən alınır:

k k nk

nn  1...n  k  1 np^k _{ }^nk

C_n p q  _nk

 1  p

k!

^{nn 1...n  k  1} _{ 1} _{1 } ¹ _..._{1 } ^{k  1} _{ 1}

n

n
_nk

nk

  

  

n 






₁ np



Lim1  p



np^k

Lim

k!

 Lim1  p

_k


k!

 Lim_1  p ^p _  e

Teoremə əsasən n kifayət qədər böyük, p isə kifayət qədər kiçik olduqda

_{ } np^k

np

p_n k  _k! e

asimptotik bərabərliyi doğrudur. Bu düsturdan adətən

p  0.1, npq  9

olduqda istifadə edilir.

n-in kifayət qədər böyük qiymətlərində Bernulli düsturundan istifadə

n

n
texniki cəhətdən çətinlik yaradır.Laplasın lokal teoremi p m  C^m p^mq^nm
ehtimalları hesablamaq üçün asimptotik yaxınlaşma düsturudur.(

lim ^x  1, x  

f x

olduqda, deyirlər ki, f(x)

x-n asimptotik yaxınlaşmasıdır).

Qeyd edək ki, xüsusi halda p=1/2 üçün asimptotik düstur 1730-cu ildə Muavr tərəfindən alınmışdır.1783 cü ildə isə Laplas bu düsturu istənilən 0  p  1 üçün isbat etmişdir.

Teorem. Əgər asılı oımayan sınaqlar zamanı müsbət nəticənin baş veməsi ehtimalı, p sabitdirsə, onda

Lim

npqp_n

m

1 ^{ x}2




2
e

2

doğrudur, burada x  və x müəyyən sonlu parçada dəyişdikdə bütün
k=0,1,...,n qiymətlərində yığılma müntəzəmdir.

Teoremə əsasən aparılan n sınaqda hadisənin m dəfə baş verməsi ehtimalı təqribən

_{ } 1

   

1 ^{ x}2

p_n m

 

npq

x , x

 e ²

2

bərabərliyi ilə təyin edilir.

^x -in müsbət qiymətləri üçün
x funksiyasının qiymətləri cədvəli işlənib

hazırlanmışdır.

x

tək funksiya olduğu üçün ^x -in mənfi qiymətləri üçün də

həmin cədvəldən istifadə etmək olar.

Məsələ 3. Qeyri standart detalın hazırlanması ehtimalı 0.004-dür.1000 detaldan beşinin qeyri standart olması hadisəsinin ehtimalını təyin edin.

Həlli.Bu məsələdə,

n  1000, p  0.004,  np  1000 0.004  4

Puasson düsturuna əsasən

p₁₀₀₀ 5 

⁴5  4


e
5!

 0.1563

İndi isə bu ehtimalı Muavr-Laplas düsturuna əsasən hesablayaq:

x  

1

1.9960

 0.501

Muavr-Laplas düsturuna əsasən axtarılan ehtimalın təqribi qiyməti

^p1000

5  f 0.501

1

1.9960

 ^0.3519  0.1763

1.9960

Bu ehtimalın Bernulli düsturuna əsasən tapılmış dəqiq qiyməti isə

1000
olar.

^p1000

5  C⁵

 0.004  0.996 ⁹⁹⁵  0.1552

Beləliklə,

^p1000 ^5

ehtimalının Muavr-Laplasın təqribi düsturuna əsasən

hesablanmış nisbi xətası

0.1763  0.1552 _{ 0.136}

0 /1552

və ya 13.6%, Puasson düsturuna

əsasən isə

^{0.1563 0.1552}  0.007və ya 0.7% təşkil edir.

0.1552

Aparılan n sayda Bernulli sınağında “ müsbət” nəticənin baş vermə sayının müəyyən parçada yerləşməsi ehtimalını hesablamaq üçün asimptotik düsturu Muavr – Laplasın inteqral troremindən almaq olar.

Teorem.

^ s  np ^

₁ b _ x²

P^ a  ⁿ  b ^ 

_{ e} 2

 

  ^a
münasibəti müntəzəm ödənilir.
₁ x _ ^{u 2}

x  _ e ^u du

2 ₀
funksiyasına Laplas funksiyası deyilir.

Laplas funksiyasının müsbət x-lər üçün qiymətləri cədvəli işlənib hazırlanmışdır.Bu funksiya tək funksiyadır, yəni

x  x

şərti ödənilir.Bu isə o deməkdir ki,

x

funksiyasının mənfi x-lər üçün

qiymətlərini axırıncı düsturun köməyi ilə hesablamaq olar.

Cədvəldə

x

funksiyasının qiymətləri

x  5

üçün verilmişdir.

x  5

olduqda

x  0.5

qəbul ertmək olar.

Laplas funksiyasının qiymətləri cədvəlindən istifadə etmək üçün

^ s  np ^

₁ b _ x²

P^ a  ⁿ  b ^ 

_{ e} 2

münasibətini aşağıdakı kimi yazaq:

 

  ^a

^ s  np ^

₁ 0 _ x²


₁ b _ x²


₁ b _ x²


₁ a _ x²

P^ a  ⁿ  b ^  _ e ² dx  _ e ² dx  _ e ² dx  _ e ² dx  b  a

 

_{ } a 0 0 0

Qeyd edək ki, ^m

 m  m 

hadisəsi

^ ^{m1  np} _ ^{m  np} _ ^{m2  np } _{hadisəsi ilə}


_{1 2}  


eynigüclü hadisədir.Ona görə də asılı olmayan n sınaqda hadisənin ən azı m₁ ,

ən çoxu isə m₂

dəfə başverməsi ehtimalınl təqribən

p_n m₁ , m₂   x₂  x₁ 

bərabərliyi ilə hesablamaq olar.

1
Burada

10. 
     ^{m1  np} , x  ^.
    

2
Məsələ 4. Sığorta şirkətində 10000 abtomobil sığorta edilmişdir.Qəza nəticəsində istənilən avtomobilin sıradan cıxma ehtimalı 0.006-dır.Sığorta edilmiş hər bir avtomobilin sahibi ildə 12 manat sığota haqqı ödəyir və avtomobilin sıradan cıxması nəticəsində çirkətdən 1000 manat alır.İlin sonunda a) şirkətin bankrot olması hadisəsinin, b) ən azı 40000 manat mənfəət əldə etməsi ehtimalını təyin edin.

Həlli. a) Tutaq ki, il ərzində n sayda avtomobil qəza nəticəsində sıradan cıxmışdır.Şirkətin bankrot olması üçün onun avtomobil sahiblərinə ödədiyi məbləğ il ərzində ödənilmiş sığorta haqqından cox olmalıdır.Bu isə o deməkdir ki,

10000 n  10000  n12

bərabərsizliyi ödənilməlidir.Bu bərabərsizliyi n-ə görə həll etsək və n-in tam

ədəd olduğunu nəzərə alsaq

n  119

olduğunu alarıq.

Beləliklə, şirkətin bankrot olması üçün il ərzində ən azı 120 avtomobil qəza nəticəsində sıradan çıxmalıdır.Bu isə il ərzində 120, yaxud 121,..., yaxud da 10000 avtomobilin sıradan cıxması deməkdir.Beləliklə, baxılan halda

n  10000 , p  0.006, q  0.994, k₁  120, k₂  10000
n  10000 , p  0.006, q  0.994, k₁  13, k₂  10000 qəbul etmək lazımdır.

x₁ 

 7.769

2
_{x } 10000 10000  0.006 _

1287.116

Bu halda axtarılan ehtimal

x₂  x₁   1287 .116  7.769   0.5  0.5  0

b) Sığorta şirkətinin il ərzində 40000 manat mənfəət əldə etməsi üçün

10000  n12 1000 n  40000

bərabərsizliyi ödənilməlidir.Buradan isə

n  79

olduğunu alırıq.

x₁ 
x₂ 

 2.460
 1287.1162

Bu halda

x₂  x₁ = 1287 .1162  2.460   0.5  0.4931  0.069

ədədi ən azı

79 avtomobilin sıradan çıxması hadisəsinin ehtimalıdır. Ən çoxu 78 avtomobil sıradan şıxdıqda şirkət ən azı 40000 manat mənfəət əldə edər. Bu hadisələr

qarşılıqlı hadisələr olduğu üçün axtarılan ehtimal 1 0.069  0.931 olar.