Kolleci ehtimal nəZƏRİYYƏSİ VƏ

Ehtimalın sadə xassələri

Ehtimala Ω elementar hadisələr fəzasının F hadisələr cəbrində təyin olunmuş hesabi-additiv çoxluq funksiyası kimi verilmiş tərifdən bir sıra nəticələr alınır:

1. 
   Verilmiş AF hadisəsinin qarşılıqlı əksi olan A _{hadisəsinin ehtimalı}
   

PA 1  P( A)

(1)

bərabərliyi ilə hesablanır. Doğrudan da, AF və Ω F olduğundan

A    A

olur. A və A hadisələri uyuşmayandır və onların cəmi yəqin hadisədir: A + A = Ω. Onda E₂ - ^E3 aksiomlarına görə

PA PA P  1 _olar.

PA 1  PA

2. 
   Mümkün olmayan hadisənin ehtimalı sıfra bərabərdir:
   

P(Ø)=0 (2)

Bu nəticəni almaq üçün (1) bərabərliyində A= Ω götürmək və E₂ aksiomundan istifadə etmək lazımdır.

3. 
   Istənilən AF və BF hadisələrinin cəminin ehtimalı üçün
   

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) (3)

bərabərliyi doğrudur.

4. 
   Istənilən AF və BF hadisələri üçün
   

P(A+B)≤P(A)+P(B) (4)

5. 
   A hadisəsi B hadisəsini doğurursa, yəni A  B münasibəti doğrudursa, onda
   

P(A) ≤P(B) (5)

6. 
   İstənilən AF hadisəsinin ehtimalı
   

0 ≤ P(A) ≤1 (6)

bərabərliyini ödəyir.

7. 
   Hadisələr ardıcıllığının aşağıdakı kimi xassəsi də vardır:
   

A₁  A₂  ...  A_n  A_{n 1}  ... və




A  A_n

n 1

olduqda

və ya

A₁  A₂  ...  A_n  A_{n 1}  ... və
^{PA } lim PA 




A  A_n

n 1

bərabərliyi doğrudur.

n ⁿ

Ehtimalın vurma düsturu

1. 
   Hadisələr hasilinin ehtimalı
   
2. 
   Tam ehtimal və Bayes düsturu
   

Hadisələr hasilinin ehtimalı
B hadisəsinin baş verməsi şərtində A hadisəsinin P(A/B) şərti ehtimalı

P(A/B)= ^P(AB)

P(B)

(1)

düsturu ilə hesablanır. Buradan, B hadisəsinin P(B)>0 şərtsiz ehtimalı məlum olduqda A və B hadisələrinin eyni zamanda baş verməsinin ehtimalını təyin etmək olar:

P(AB)=P(B)∙P(A/B) (2)

Burada, A və B hadisələrinin yerini dəyişməklə aşağıdakı bərabərlik alınır:

P(AB)=P(A)∙P(B/A) (3)

2. 
   və (3) bərabərlikləri ehtimalların vurma teoremini ifadə edir. Həmin bərabərlikdən aşağıdakı münasibəti almış olarıq:
   

P(A)∙P(B/A)=P(B)∙P(A/B) (4)

2. 
   bərabərliyini istənilən sonlu sayda A₁,...,A_n hadisələri üçün ümumiləşdirmək olar.
   

Teorem (ehtimalların vurma teoremi): P(A₁)>0, P(A₁A₂)>0,. ,

P(A₁...,_n)>0 şərtlərini ödəyən sonlu sayda A₁,...,A_n hadisələri üçün aşağıdakı bərabərlik doğrudur:

P(A₁,...,A_n)=P(A₁) P(A₂/A₁) ∙ P (A₃/A₁A₂)…P (A_n/A_1, ,A_n-1)

Tam ehtimal və Bayes düsturu
Tutaq ki, cüt-cüt uyuşmayan A₁, A₂, … , A_n hadisələri tam qrup təşkil edir və B hadisəsi bu hadisələrin hər hansı biri ilə eyni zamanda baş verir. A_k hadisələrinin P(A_k) ehtimalı və B hadisəsinin P(B/A_k) (k=1,2,...,n) şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin P(B) ehtimalını tapmaq tələb olunur. Bu məsələni həll etmək üçün qeyd edək ki, cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup təşkil

edən A_khadisələrinin cəmi yəqin hadisədir:

n

⋃ A_k = Ώ

k=1

Buna görə də B hadisəsini cüt-cüt uyuşmayan BA_k hadisələrinin

n

B = ⋃(BA_k)

k=1

cəmi şəklində göstərmək olar. Buradan E₃ aksiomuna görə

n

P⁽B⁾ = ∑ P⁽BA_k⁾

k=1

münasibətini və sağ tərəfdəki hədlərə ehtimalların vurma teoremini tətbiq etdikdə

bərabərliyi alınar.

n

P⁽B⁾ = ∑ P⁽A_k⁾P⁽B/A_k⁾

k=1

(2) düsturuna tam ehtimal düsturu deyilir. Bu düsturdan istifadə etməklə aşağıdakı məsələni həll etmək olar:

Tutaq ki, cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup təşkil edən A_k (k=1,2,...,n) hadisələrinin P(A_k) ehtimalları keçirilməli olan müəyyən sınaqdan əvvəl verilmişdir. Sınaq aparıldıqda B hadisəsi baş verir və bu hadisənin A_khadisələrinə nəzərən P(B/A_k) şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin baş verməsi A_k hadisəsinin ehtimalını necə dəyişir?

Bu məsələni həll etmək üçün

P(BA_k)=P(B)P(A_k/B)=P(A_k)P(B/A_k)

bərabərliklərindən istifadə etmək lazımdır. Buradan

A_k

P ( _B ) =

bərabərliyi və (2) düsturuna əsasən

P⁽A_k⁾P(B/A_k) P(B)

PA_k

/ B 

PA_k PB / A_k 


n
_ PA_k PB / A_k 

k 1

(3)

Münasibəti alınır. (3) bərabərliyinə Bayes düsturu deyilir.