Funksiyaning nuqtadagi limiti

Limitlar haqida asosiy teoremalar.
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar algebraik yig‘indisining limiti qo‘shiluvchi funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya‘ni

Misol. .
Misol. .
Teorema. Chekli sondagi limitga ega funksiyalar ko‘paytmasining limiti shu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya‘ni
_.
Misol.
.
Misol.
Misol. .
Teorema. Ikkita limitga ega funksiya bo‘linmasining limiti maxrajning limiti noldan farqli bo‘lganda, shu funksiyalar limitlarining bo‘linmasiga teng, ya‘ni agar bo‘lsa, bo‘ladi.
Misol. ni toping.
Yechish. . Shuning uchun:
= .
Misol. ni toping.
Yechish. bo‘lgani uchun 3-teoremani qo‘llab bo‘lmaydi. Suratning limiti bo‘lgani uchun berilgan ifodaning teskarisining limitini topamiz:
=
Bundan kelib chiqadi, chunki cheksiz kichik funksiyaga teskari funksiya cheksiz katta funksiya bo‘ladi.
Misol. isbotlansin.

Yechish. Radiusi 1 ga teng aylanani qaraymiz. 7-chizmadan: x>0 bo‘lsa ; АС= , =х (markaziy burchak o‘zi tiralgan yoy bilan o‘lchanadi), AC< yoki <x ekani ayon bo‘ladi. x<0 bo‘lganda | |<|x| bo‘lishi ravshan.

7-chizma.

Shunday qilib x>0 uchun 0< <x va x<0 uchun 0<| |<|x| tengsizliklarga ega bo‘ldik. ekanligini hisobga olsak ekanligi kelib chiqadi.
Misol. isbotlansin.
Yechish. ekani ravshan.
bo‘lgani uchun, yoki kelib chiqadi.
Misol. ekanligi isbotlansin.
Yechish. yoki ekanligini e‘tiborga olsak
= hosil bo‘ladi.
Funksiyaning limiti.
Ta’rif. Agar har bir oldindan berilgan ixtiyoriy kichik musbat -son uchun o‘zgaruvchi x ning shunday qiymatini ko‘rsatish mumkin bo‘lsaki, o‘zgaruvchining barcha keyingi qiymatlari uchun ushbu |x-a|< tengsizlikni qanoatlantirsa, o‘zgarmas "a" son x miqdorning limiti (oxirgi marrasi) deyiladi. Agar a son o‘zgaruvchi x miqdorning limiti bo‘lsa, u holda x o‘zgaruvchi a ga intiladi deyiladi va х→а yoki lim=а*. (*lim→ qisqartirilgan lotincha limes- marra (chek) degan so‘zdir) ko‘rinishda yoziladi.
Geometrik terminlarda limitning ta'rifini quyidagicha ta'riflash mumkin.

Agar markazi a nuqtada va radiusi bo‘lgan oldindan berilgan ixtiyoriy har qancha kichik atrof uchun x ning shunday qiymati topilsaki, o‘zgaruvchining keyingi qiymatlariga tegishli barcha nuqtalar shu atrofda bo‘lsa, o‘zgarmas a son o‘zgaruvchi x ning limiti bo‘ladi.

Izoh-1. O‘zgarmas miqdor c ko‘pincha hamma qiymatlari bir xil: x=c bo‘lgan o‘zgaruvchi miqdor deb ko‘riladi.
O‘zgarmas miqdorning limiti shu o‘zgarmas miqdorning o‘ziga teng ekani ravshan, chunki c har qanday bo‘lganda ham |x-c|=|c-c=0|< ₁ tengsizlik doimo bajariladi.
Izoh-2. Limitning tarifidan o‘zgaruvchi miqdor ikkita limitga ega bo‘la olmasligi kelib chiqadi. Haqiqatdan, agar lim x=a va lim x =b (a<b) bo‘lsa, y holda ixtiyoriy kichik bo‘lgan holda x birdaniga ushbu ikkita tengsizlikni qanoatlantirishi lozim:
|x-a|< va /x-b/< bu esa bo‘lgan holda mumkin emas.

5-chizma
Ta’rif. Agar oldindan berilgan har bir musbat M son uchun x ning shunday qiymatini ko‘rsatish mumkin bo‘lsaki, o‘zgaruvchining shu qiymatidan boshlab, barcha keyingi qiymatlari |x|>M tengsizlikni qanoatlantirsa, o‘zgaruvchi x
cheksizlikka intiladi.¹
Agar o‘zgaruvchi x cheksizlikka intilsa, u cheksiz katta o‘zgaruvchi miqdor deyiladi va х→∞ ko‘rinishda yoziladi. Agar ixtiyoriy M>0 da o‘zgaruvchining biror qiymatidan boshlab, barcha keyingi qiymatlari M tengsizlikni qanoatlantarsa, o‘zgaruvchi miqdor