Differencial teńlemeler haqqında túsinik, tuwındıǵa qarata sheshilgen birinshi tártipli differecial teńlemeler. Ulıwma hám dara sheshim. Koshi máselesi

Differencial teńlemeler haqqında túsinik, tuwındıǵa qarata sheshilgen birinshi tártipli differecial teńlemeler. Ulıwma hám dara sheshim. Koshi máselesi.

Joba:
Kirisiw.

1. 
   Differencial teńlemeler haqqında túsinik
   
2. 
   Ulıwma hám dara sheshim.
   
3. 
   Tuwındıǵa qarata sheshilgen birinshi tártipli differecial teńlemeler.
   
4. 
   Koshi máselesi
   

Juwmaq.


Differensial teńlemeler haqqında ulıwma túsinik
Differensial teńleme dep erkli ózgeriwshi x, belgisiz y=f (x) funksiya jáne onıń u', u'',.. ..., ol (n) tuwındıları arasındaǵı baylanısıwdı ańlatatuǵın teńlemege aytıladı. Eger ızlengen funksiya y=f (x) bir erkli ózgeriwshiniń funksiyası bolsa, ol halda differensial teńleme ápiwayı differentsial teńleme, bir neshe ózgeriwshilerdiń funksiyası bolsa u=Ol (x1, x2,.. .., xn) menshikli tuwındılı differensial teńleme dep ataladı. Differensial teńlemediń tártibi dep teńlemege kirgen tuwındınıń eń joqarı rejimine aytıladı. Differensial teńlemediń sheshimi yamasa integralı dep differensial teńlemege qoyǵanda onı teńlikke aylantıratuǵın hár qanday y=f (x) funksiyaǵa aytıladı. Birinshi tártipli differentsial teńleme ulıwma halda tómendegi kóriniste boladı. F (x, y, y') =0 Eger bul teńlemeni birinshi tártipli paydaaga salıstırǵanda sheshiw múmkin bolsa, ol halda y'=f (x, y) teńlemege iye bolamız. Ádetde, teńleme tuwındına salıstırǵanda sheshilgen teńleme dep ataladı. teńleme ushın sheshimdiń bar ekenligi hám birden-birligi haqqındaǵı teorema orınlı :
Teorema. Eger teńlemede f (x, y) funksiya hám odan y boyınsha alınǵan df/dy menshikli tuwındı X0 Y tegisligidegi (x0, y0) noqattı óz ishine alıwshı qandayda bir tarawda úzliksiz funksiyalar bolsa, ol halda berilgen teńlemediń y (x0) =y0 shártni qánaatlantıratuǵın bir ǵana y=  (x) sheshimi bar. x=x0 de y (x) funksiya y0 sanǵa teń bolıwı kerek degen shárt baslanǵısh shárt dep ataladı : y (x0) =y0
Birinshi tártipli differensial teńlemediń ulıwma sheshimi dep bir qálegen C ózgermeytuǵın muǵdarǵa baylanıslı tómendegi shártlerdi qánaatlantıratuǵın y=(x,s) funksiyaǵa aytıladı :a) bul funksiya differensial teńlemeni qálegen s de qánaatlantıradı ;b) x=x0 de y=y0 baslanǵısh shárt hár qanday bolǵanda da sonday s=s0 baha tabıladıki, y=(x, s0) funksiya berilgen baslanǵısh shártni qánaatlantıradı. Ulıwma sheshimdi ashiq jarıyamas halda ańlatiwshı F(x,y,s)=0 teńlik differentsial teńlemediń ulıwma integralı dep ataladı. Qálegen s - ózgermeytuǵın muǵdarda s=s0 málim baha beriw nátiyjesinde y=(x, s) ulıwma sheshimnen payda bolatuǵın hár qanday y=(x, s0) funksiya menshikli sheshim dep ataladı. F (x, y, s0) - menshikli integral dep ataladı. Differensial teńleme ushın dy/dx=s=const munasábet atqarılatuǵın noqatlardıń geometriyalıq ornı berilgen differensial teńlemediń izoklinasi dep ataladı.
Eger differensial teńleme degi belgisiz funksiya eki hám odan artıq kóp argumentlarga baylanıslı bolsa, ol menshikli tuwındılı differensial teńleme dep ataladı. Bunday teńlemelerdiń atınan kórinip turubdiki, olarda funksiyanıń erkli argumentlari boyınsha menshikli tuwındıları qatnasadı.
Ápiwayı differensial teńlemeler degi sıyaqlı menshikli tuwındılı differensial teńlemeler de sheksiz kóp sheshimlerge iye. Bul sheshimlerge ulıwma sheshimler dep ataladı. Menshikli sheshimler ulıwma sheshimlerden málim shártler tiykarında ajratıladı. Bul qosımsha shártler teńleme qaralayotgan tarawdıń ádetde shegarasında beriledi. Menshikli tuwındı daǵı erkli ózgeriwshilerden biri waqıt bolıwı da múmkin. Bunday fizikalıq hám texnikalıq máseleler ámelde kóp ushraydı. Qosımsha shártler retinde bunday teńlemeler ushın waqtıniń qandayda bir belgilengen ma`nisinde ızleniwshi funksiyanıń bahaları isletiledi. Mısalı, shárt baslanǵısh waqıt t=0 de (yamasa ulıwma t=t0 =const) beriliwi múmkin. Bunday shártga biz baslanǵısh shárt deymiz. Qosımsha shártler tarawdıń shegarasında berilsa, bunday máselege shegaralıq másele dep ataladı.
Tuwındıǵa qarata sheshilgen birinshi tártipli differecial teńlemeler.

Birinshi tártipli teńleme tómendegi kóriniske iye boladı :

F(x, y, y )  0
Biz tuwındına salıstırǵanda sheshilgen birinshi tártipli teńlemelerdi kórip shıǵamız :

Kóp jaǵdaylarda (2) hám (2') teńlemeleri ornına olarǵa teń bolǵan differentsial teńlemeni kórip shıǵıw maqsetke muwapıq bolıp tabıladı:
dy - f(x, y)dx  0
Eki ózgeriwshi x hám ol bul teńlemege teń haqılı kirediler hám biz olardıń hár qaysısın ǵárezsiz ózgeriwshi retinde qabıllawımız múmkin.
(3) teńlememning eki bólegin qanday da N(x, y)dy funkciyasına kópaytirib simmetrik teńleme payda etemiz:
M(x, y)dx  N(x, y)dy  0
Kóz aldımızǵa keltiremiz, (2) teńlamining ońı f (x, y) qanday da A jıynaq astı (x, y) materiallıq tegisliginde belgilengen. (a, b) intervalında anıqlanǵan y=y (x) funksiyanı biz (2) teńlaminig sol intevalidagi sheshimi dep esaplaymiz (y=y(x)sheshimi a,b,a,b,a,b,,b,,b,a,,a,,, sıyaqlı intevallarda da anıqlaw múmkin), eger:
1) (a, b) intervalındaǵı x dıń barlıq bahaları ushın y=(x) tuwındı bar. (Bunnan y=y (x) sheshimi pútkil anıqlanıw maydanı sheńberinde uzilmas funksiya ekenligi kelip shıǵadı ).
2) y =y (x) funksiyası (2) teńlemeni (a, b) intevalidagi x dıń barlıq bahaları ushın haqıyqıy bolǵan teńlikke aylantıradı :
y (x)  fx, y(x)
Bul (a, b) intevalidagi x dıń hár qanday ma`nisinde x, y(x) noqatı A kompleksine tiyisliligin hám y (x)  fx, y(x).
Koshi máselesi
Shama menen oylayıq, bizge tómendegi Koshi máselesi berilgen bolsın [1]., y   f (x, y) (1)
y (x )  y₀ (2)
Bul máseleni tarqatıp alıw ushın differentsial teńlemeler stuldan málim bolǵan izbe-iz jaqınlasıw usılın qollap yamasa sheshimdi noqat átirapında qatarǵa (ádetde Teylor qatarına ) jayıw usılın qollap, sheshimdi ámeliy analitik kórinisin tabıwadı.
y(x)  y_n(x)= yⁱ(x₀)
Bul eki ápiwayı usıllar málim kemshiliklerge iye, atap aytqanda birinshisinde hár bir jańa jaqınlasıwda integral esaplanıwı kerek bolsa,ekinshisinde bolsa kishi bolmasa qatar jaqınlamawı múmkin yamasa júdá tómen jaqınlashuvchi boladı. Sol sebepli de (1) - (2) máseleni basqa usıllar menen sheshiwdi úyrenemiz.