Chebishev kvadratur formulasi

Chebishev kvadratur formulasi
Bu formula shu bilan har xarakterlanadiki, f(x_k) oldidagi barcha koeffisiyentlar o`zaro teng. Agar f(x<sub>k</sub>) ning qiymatlari tasodifiy xatolarga moyil bo`lsa, u holda bunday formulalar katta ahamiyatga ega bo`ladi. Chunki belgilangan
с<sub>1</sub> + с<sub>2</sub> + ... с<sub>п</sub> uchun
с<sub>1</sub> f(х,) + с <sub>2</sub>f(х<sub>2</sub>) + ... + с <sub>n</sub>fх<sub>п</sub>)
ifoda c =c<sub>2</sub> = ... =с<sub>п</sub> bo`lganda eng kichik tasodifiy xatoga ega bo`ladi. Shu munosabat bilan P.L. Chebishev teng koeffisiyentli

kvadratur formula tuzish masalasini qo`ygan edi. Bu kvadratur formulaning o`ng tomonida п +1 ta parametr: п ta х_к tugunlar va с_п koeffisiyent qatnashadi. Bu parametrlarni tegishli usulda tanlash yo`li bilan (6.1) formulani п-darajali f(x) ko`phadni aniq integrallaydigan qilib qurishga imkoniyat borligiga umid qilish mumkin. Biz keyinchalik (6.1) formulaning har doim ham mavjud bo`lavermasligini ko`ramiz. 4-§ dagidek bu yerda ham х₁, х₂, ..., х_п larni topish o`rniga

ko`phadni izlaymiz. (6.1) formulada
f(x) = а<sub>0</sub> + а<sub>1</sub>х + ... + а <sub>n</sub>х<sup>n</sup>
deb olamiz, bu yerda a<sub>0</sub>, а<sub>1</sub> ..., а<sub>п</sub> - ixtiyoriy haqiqiy sonlar.
Shartga ko`ra bu funksiya uchun R_n(f) = 0, shuning uchun ham quyidagi tenglikka ega bo`lamiz:

Quyidagicha belgilash kiritaylik:

(6.2) tenglikdan a_i larning ixtiyoriyligini hisobga olsak

tengliklar kelib chiqadi. Birinchi tenglikdan ni topamiz. So`ng belgilash kiritib, х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, ..., х<sub>n</sub> larni topish uchun quyidagi sistemaga ega bo`lamiz:

Biz chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechishdan bilamizki,

ko`phadning koeffisiyentlari bilan uning ildizlaridan tuzilgan s<sub>k</sub> = simmetrik funksiyalarni o`zaro bog`laydigan

Nyuton formulalarini chiqargan edik. Bu formulalardan ketma-ket A₁ ,A₂ ,…,A_n larni aniqlaymiz.
Endi bo`lgan Chebishev formulasining xususiy holini qaraymiz. Bu holda

bo`ladi. Chebishev n = 1(1)7 lar uchun

kvadratur formulaning tugunlarini topgan edi.Keyinchalik ma`lum bo`ldiki, n = 8 bo`lganda <sub>п</sub>(х) ko`phad ildizlarining orasida komplekslari ham mavjud ekan,
п = 9 bo`lganda barcha ildizlar yana haqiqiydir.
Quyida p=1(1)7 va n=9 uchun (6.4) Chebishevning kvadratur formulasining tugunlari keltirilgan:
п= 1
х₁ = 0;
n = 2
-х₁ = х₂ = 0,5773502691;
n = 3
-х₁ =х₃ = 0,7071067812, х₂ = 0;
n= 4
-x₁ = х₄ = 0,7946544723, -х₂ = х₃ = 0,1875924741;
n = 5
-х₁ = х₅ = 0,8324974870, -х₂ = х₄ = 0,3745414096, х₃ = 0;
п = 6
-х₁ = х₆ = 0,8662468181, -х₂ = х₅ = 0,4225186538,
-х₃ = х₄ = 0,266354015;
п = 7
-x₁ = х₇ = 0,8838617008, -х₂ = х₆ = 0,5296567753,
-х₃ = х₅ = 0,3239118105, х₄ = 0;
п = 9
-x₁ =х₉ = 0,9115893077, -х₂ = х₈ = 0,6010186554,
-х₃ = х₇ = 0,5287617831, -х₄ = х₆ = 0,1679061842, х₅ = 0.