Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning ayrim tatbiqlari

Ayrim I tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash. (3) differensial tenglamalarni umumiy integrallash usuli mavjud emas. Bu tenglamalarni faqat xususiy hollarda yechish (integrallash) usullari topilgan va bu yerda ulardan ayrimlarini ko‘rib o‘tamiz.

• 
  Eng sodda I tartibli differensial tenglama. Bu tenglama
  

y′=f(x) (5)
ko‘rinishda bo‘lib, unda f(x) ma’lum bir berilgan funksiyani ifodalaydi. Bu tenglama oldin ko‘rib o‘tilgan boshlang‘ich funksiyani topish masalasini ifodalaydi (IX bob, §1 ) va shu sababli uning umumiy yechimi aniqmas integral yordamida
(5^*)
formula bilan aniqlanadi.
Masalan,
.
Ba’zi hollarda berilgan differensial tenglama u yoki bu usulda (5) ko‘rinishga keltirish orqali integrallanadi va bunga kelgusida bir necha marta ishonch hosil etamiz.

• 
  O‘zgaruvchilari ajralgan differensial tenglama. Bu tenglama
  

(6)
ko‘rinishda bo‘ladi. Bu tenglamada x va y o‘zgaruvchilar bir-biridan ajralgan holda
qatnashganligi uchun (birinchi qo‘shiluvchida faqat y, ikkinchisida esa faqat x ishtirok etmoqda) u o‘zgaruvchilari ajralgan tenglama deyiladi. Uning umumiy yechimini topish uchun (6) tenglikni hadma-had integrallaymiz:
. (6^*)
Bu integrallarni hisoblab, (6) tenglamaning umumiy yechimini aniqlaymiz.
Masalan,
.
Bunda oxirgi tenglik berilgan differensial tenglamaning umumiy yechimini oshkormas, ya’ni F(x,y)=C ko‘rinishda ifodalaydi. Oldingi misolda esa umumiy yechim oshkor, ya’ni y=φ(x,C) ko‘rinishda topilgan edi.

• 
  O‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama. Bu tenglama
  

(7)
ko‘rinishda bo‘ladi. (7) tenglamani integrallash uchun uni M₂(y)≠0, N₁(x)≠0 shartda M₂(y)N₁(x) ifodaga hadma-had bo‘lamiz va natijada oldin ko‘rib o‘tilgan ushbu o‘zgaruvchilari ajralgan

differensial tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu yerdan (7) tenglamaning umumiy yechimi uchun
(7^*)
formulaga ega bo‘lamiz.
Misol sifatida ushbu Koshi masalasini yechamiz :
(1+х²)dy+уdx=0 , y(0)=1 .
Bu masaladagi tenglama o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘ladi. Bunda 1+x²≠0 bo‘lgani uchun y≠0 deb olish kifoya. Bu shartda, berilgan tenglamani y(1+x²) ifodaga bo‘lish orqali, umumiy yechimni quyidagicha topamiz:
.
Endi, boshlang‘ich shartdan foydalanib (x=0, y=1), C o‘zgarmas son qiymatini aniqlaymiz:
.
Demak, berilgan Koshi masalasining yagona yechimi y=e^arctgx funksiyadan iborat bo‘ladi.
Izoh: (7) differensial tenglama M₂(y)≠0 , N₁(x)≠0 shartda integrallandi. Bu shart bajarilmasa, unda bu tenglama (7^*) ko‘rinishda bo‘lmagan yechimga ega bo‘lishi mumkin. Masalan, yuqoridagi Koshi masalasidagi differensial tenglamani y=0 bo‘lgan holda qaraymiz. Bu holda dy=0 bo‘lgani uchun y=0 funksiya bu tenglamaning yechimi ekanligini ko‘ramiz. Yuqorida topilgan umumiy yechim y=e^arctgx+C >0 bo‘lgani uchun undan y=0 yechim kelib chiqmaydi.

•