2.2 Kubik tenglama va uni yechish usullari Umuman, kompleks sonlar maydonidagi 3-darajali tenglamaning ikkala tomonini bosh koeffitsientga bo’lib, uni
ko’rinishga keltirish mumkin. Bu tenglama quyidagi metod bilan yechiladi. (2.2.1) tenglamani yangi noma’lum ga nisbatan 2-darajali had ishtirok etmagan 3-darajali tenglamaga quyidagicha keltirish mumkin: ni (2.2.1) tenglamada
almashtirnishni bajargandan keyin yuqoridagi shartni qanoatlantiruvchi 3-darajali tenglama hosil bo’ladigan qilib tanlaymiz. (2.2.1) da o’rniga ni qo’yib koeffitsientini nolga tenglashdan
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglamadan
topiladi. Aytilganlarga asosan (2.2.1) tenglamada
almashtirishni bajarsak,
hosil bo’ladi. Bunda
(2.2.3) – 3-darajali tenglamaning normal shakli deb ataladi. (2.2.3) normal tenglamani yechish uchun
deymiz, bunda va – yangi noma’lumlar. Bu ifodani (2.2.3) tenglamaga qo’ysak, quyidagi kelib chiqadi:
kvadrat tenglamaning ildizlaridan iborat. Bu tenglamani yechib, quyidagini topamiz:
yoki
va
bundan, (2.2.5) ga ko’ra
(2.2.8) tenglik odatda Kardano formulasi deb ataladi. Bu tenglik ikkita ildizning yig’indisidan iborat bo’lib, har bir ildiz uchta qiymatga ega: ning har bir qiymatini ning har bir qiymati bilan olsak,
uchun hammasi bo’lib to’qqizta qiymatni hosil qilamiz. Ammo (2.2.3) tenglama faqat uchta ildizga ega; shu sababli yuqoridagi to’qqizta qiymatdan uchtasini, ya’ni
yig’indining (2.2.7) shartni qanoatlantiruvchi qiymatlarini olishimiz kerak. Shu maqsadda avval:
ildizning uchta qiymatini topamiz. Buning uchun ma’lumki, ning bitta masalan, ildizini birning 3-darajali
ildizlariga ko’paytirishimiz lozim. Natijada ning 3-darajali ildizlari
bo’ladi. Endi ning tegishli qiymatlarini (2.2.7) shartdan topamiz.
bunda
dan foydalandik. Shunday qilib, ning har bir qiymatini ning mos qiymatiga qo’shsak, uchun quyidagi uchta qiymat kelib chiqadi.
Agar bu tengliklarga va ning qiymatlarini qo’ysak, (2.2.3) normal tenglamaning ildizlari quyidagiga teng bo’ladi:
hosil bo’ladi. Demak, (2.2.10) ga binoan berilgan tenglamaning ildizlari quyidagilardan iborat:
Haqiqiy sonlar maydonida 3-darajali normal tenglamaning ildizlari qanday bo’lishini tekshiraylik. (15) tenglamaning va koeffitsientlarini haqiqiy sonlar deb hisoblab,
Ifodani olamiz va quyidagi uch holni ko’rib o’tamiz:
Bu holda (2.2.11) da ildiz ostidagi son haqiqiy bo’lib, ham xaqiqiy ildizga ega bo’ladi. Bundan,
ham haqiqiy degan natijaga kelamiz. Shu sababli (2.2.9) tengliklarga qarab, (2.2.3) tenglamaning ildizlari har xil, bulardan bittasi, ya’ni