2-mustaqil ish topshiriqlari

2. Algoritmlarni eng yomon va o’rtacha holatlarda baholash
Algebraik va transsendental tenglamalar yechimlarini yaqinlashtirish usulining yaqinlashish tezligi echilayotgan maxsus tenglamaga, shuningdek, yechimning dastlabki taxminiga bog'liq. Umuman olganda, Nyuton usuli eng tez yaqinlashish usuli bo'lib, undan keyin sekant usuli, sobit nuqtali iteratsiya usuli, noto'g'ri pozitsiya usuli va ikkiga bo'linish usuli kiradi. Biroq, Nyuton usuli ba'zi tenglamalar uchun beqaror bo'lishi mumkin, shuning uchun dastlabki taxminni diqqat bilan tanlash muhimdir.

Umuman olganda, algebraik va transsendental tenglamalar yechimlarini yaqinlashtirish usulini tanlashning eng yaxshi usuli bu turli usullar bilan tajriba o'tkazish va echilayotgan maxsus tenglama uchun qaysi biri tezroq yaqinlashishini ko'rishdir.

Bu erda turli usullarning konvergentsiya tezligi jadvali keltirilgan:

Usul Konvergentsiya tezligi

Nyuton usuli Eng tez
Sekant usuli Ikkinchi eng tez
Ruxsat etilgan nuqtani takrorlash usuli Uchinchi eng tez
Noto'g'ri pozitsiya usuli To'rtinchi eng tez
Bisektsiya usuli Eng sekin
Shuni ta'kidlash kerakki, konvergentsiya tezligi algebraik va transsendental tenglamalar yechimlarini yaqinlashtirish usulini tanlashda e'tiborga olinadigan omillardan biridir. Ko'rib chiqilishi kerak bo'lgan boshqa omillarga yaqinlashishning aniqligi, usulning barqarorligi va amalga oshirish qulayligi kiradi.
Umuman olganda, Nyuton usuli ko'pchilik ilovalar uchun eng yaxshi tanlovdir. Bu tez, aniq va barqaror. Biroq, ba'zi tenglamalar uchun uni amalga oshirish qiyin bo'lishi mumkin.
Nyuton usuli beqaror bo'lgan tenglamalar uchun sekant usuli yaxshi tanlovdir. Bu Nyuton usuli kabi tez emas, lekin u barqarorroq.
Ruxsat etilgan nuqtali iteratsiya usuli funksiya hosilasini hisoblash qiyin bo'lgan tenglamalar uchun yaxshi tanlovdir. Bu Nyuton usuli kabi tez emas, lekin uni amalga oshirish osonroq.
Noto'g'ri pozitsiya usuli ko'p ildizli tenglamalar uchun yaxshi tanlovdir. Bu boshqa usullar kabi tez emas, lekin ko'p ildizli tenglamalar uchun samaraliroq bo'lishi mumkin.
Bisektsiya usuli yaqinlashuvning aniqligi muhim bo'lmagan tenglamalar uchun yaxshi tanlovdir. Bu eng sekin usul, lekin u eng mustahkam hisoblanadi.
Nyuton usuli: Nyuton usuli kvadratik ravishda yaqinlashadi, ya'ni har bir iteratsiya uchun yaqinlashishdagi xato 4 marta kamayadi. Bu Nyuton usulini dastlabki taxminga yaqin bo'lgan tenglamalar uchun juda tez qiladi.
Sekant usuli: Sekant usuli chiziqli ravishda yaqinlashadi, ya'ni har bir iteratsiya uchun yaqinlashishdagi xato 2 marta kamayadi. Bu sekant usulini Nyuton usuliga qaraganda sekinroq qiladi, lekin u barqarorroq.
Ruxsat etilgan nuqtani takrorlash usuli: Ruxsat etilgan nuqtani takrorlash usuli sublinear tarzda yaqinlashadi, ya'ni har bir iteratsiya uchun yaqinlashishdagi xato 2 faktordan kamroq kamayadi. Bu sobit nuqtali iteratsiya usulini eng sekin birlashtiruvchi usulga aylantiradi, lekin u eng mustahkam hisoblanadi.
Noto'g'ri pozitsiya usuli: noto'g'ri pozitsiya usuli kvadratik ravishda yaqinlashadi, lekin u ko'p ildizli tenglamalar uchun Nyuton usuli kabi tez emas.
Bisektsiya usuli: Bisektsiya usuli chiziqli ravishda yaqinlashadi, lekin u eng sekin yaqinlashish usuli hisoblanadi.