1-ma’ruza: Differensial tenglamalar faniga kirish. O’zgaruv

soddalashtirsak ,

(z)

yoki

ko’rinishga keladi,
Bu o’zgaruvchilari ajraladigan tenglamadir, so’ngi tenglamani integrallab
F(z,x,c)=0
funksiyani olamiz.
So’ng (5) almashtirishdan z ni topib
F( yoki F(x,u,s)=0
umumiy integralga ega bo’lamiz.
MISOL: Tenglamani yeching.

avvalo bu tenglama bir jinsli ekanligini ko’rsatamiz. (2) formulaga ko’ra x=xt , y=yt deb olamiz

bundan kelib chiqadiki,

bo’lib m=2 bo’ladi. U holda berilgan tenglama uchun y=zx almashtirish qilish mumkin.

Bundan dy=zdx+xdz bo’lib, tenglamaga qo’yilsa

a)
integrallab, topamiz:
yoki

yoki x(y-1)=yc.
b) bo’lsa, u holda


bo’lib , z=0, z=1 undan yuqoridagi almashtirishga ko’ra
ifodalarga ega bo’lamiz.
Demak umumiy integral .
Bir jinsli tenglamalarga keltiriladigan differensial tenglamalardan biri
(6)
ko’rinishdagi tenglama bo’lib, unda s₁ va s₂ lardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsin. Unda 2 holni qaraymiz
1-hol:
bo’lsin
Bu holda sistemani yechib, x=x₀, u=u₀ yechimni topamiz va
(7)
almashtirish bajaramiz. (7) almashtirishni (6) tenglamaga qo’ysak


,
ko’rinishga keladi.
Bundan (4) ko’rinishdagi bir jinsli tenglamani olamiz, ya’ni
.
Bu tenglamani oldingi usulda yechish mumkin.
2-hol. Agar

bo’lsa, u holda
tenglikka ega bo’lamiz.
Bundan esa
bo’ladi. (6) tenglamaga qo’ysak
( 8 )
ko’rinishdagi tenglamaga ega bo’lamiz.
(8) tenglamada z=a₂x+b₂y almashtirish bajaramiz, u holda o’zgaruvchilarni ajraladigan tenglamaga hosil bo’ladi.